Серед усіх прямокутників з периметром 80 см, який прямокутник має найбільшу площу?

Yachmen

60

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью из всех прямоугольников с периметром 80 см, нам нужно знать связь между периметром прямоугольника и его площадью.

Давайте представим, что у нас есть прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). По определению, периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон, то есть \(2a + 2b\). Из нашего условия задачи мы знаем, что периметр равен 80 см, поэтому у нас есть уравнение:

\[2a + 2b = 80\]

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть \(S = ab\).

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения \(a\) и \(b\), при которых площадь \(S\) будет максимальной.

Для начала, выразим одну переменную через другую. Из уравнения периметра у нас есть:

\[a + b = 40 - \frac{b}{2}\]

Отсюда можем выразить \(a\):

\[a = 40 - \frac{b}{2}\]

Теперь подставим это выражение в уравнение площади:

\[S = a \cdot b = \left(40 - \frac{b}{2}\right) \cdot b\]

Раскроем скобки:

\[S = 40b - \frac{b^2}{2}\]

Теперь у нас есть формула для площади прямоугольника \(S\) в зависимости от одной переменной \(b\). Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, мы можем использовать метод максимума и подсчета производной.

Продифференцируем формулу площади по переменной \(b\):

\[\frac{dS}{db} = 40 - b\]

Чтобы найти экстремум функции, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[40 - b = 0\]

Решая уравнение, получаем:

\[b = 40\]

Теперь, когда мы знаем значение \(b\), мы можем подставить его обратно в уравнение площади, чтобы найти соответствующее значение \(a\):

\[a = 40 - \frac{40}{2} = 20\]

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью среди всех прямоугольников с периметром 80 см имеет стороны 20 см и 40 см. Его площадь равна:

\[S = 20 \cdot 40 = 800 \, \text{см}^2\]

Пожалуйста, обратите внимание, что данный ответ основан на математическом анализе и может быть понятен школьнику.