Какова вероятность выбрать ровно один красный шарик из трех случайно выбранных шариков в пакете из 10 воздушных

Arseniy

49

Хорошо, для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Давайте разберем ее пошагово.

Шаг 1: Рассчитаем общее количество способов выбрать 3 шарика из 10. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний. Обозначим это числом \(C\) (10, 3):
\[C(10,3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}}\]
\[C(10,3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}}\]
\[C(10,3) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}}\]
Видим, что 7! в числителе и знаменателе сокращаются:
\[C(10,3) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\]
\[C(10,3) = \frac{{720}}{{6}}\]
\[C(10,3) = 120\]

Шаг 2: Рассчитаем количество способов выбрать ровно один красный шарик из трех. Для этого нам нужно выбрать один красный шарик и два зеленых. Количество способов выбрать один красный шарик равно количеству способов выбрать 1 из 3 красных шариков (обозначим это числом \(C\) (3, 1)):
\[C(3,1) = \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}}\]
\[C(3,1) = \frac{{3!}}{{1! \cdot 2!}}\]
\[C(3,1) = \frac{{3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2 \cdot 1}}\]
\[C(3,1) = 3\]

Шаг 3: Вычислим вероятность выбрать ровно один красный шарик. Для этого нужно разделить количество способов выбрать ровно один красный шарик на общее количество способов выбрать 3 шарика:
\[P(\text{{ровно один красный}}) = \frac{{C(3,1)}}{{C(10,3)}}\]
\[P(\text{{ровно один красный}}) = \frac{{3}}{{120}}\]
\[P(\text{{ровно один красный}}) = \frac{{1}}{{40}}\]

Итак, вероятность выбрать ровно один красный шарик из трех случайно выбранных шариков в пакете из 10 воздушных шариков равна \(\frac{{1}}{{40}}\).