Какова вероятность выпадения решки при первых трех подбрасываниях монеты, если известно, что в общей сложности монету

Магический_Космонавт

18

Для решения этой задачи нам потребуется применить понятие условной вероятности. Для начала, давайте рассмотрим общие случаи искомых вероятностей.

Пусть событие A состоит в том, чтобы выпала "решка" при первых трёх подбрасываниях монеты, а событие B — в том, чтобы "решка" выпала 4 раза при 6 подбрасываниях. Мы хотим найти условную вероятность P(A|B), то есть вероятность того, что событие A произошло, учитывая информацию о событии B.

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем воспользоваться формулой условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

где P(A \cap B) обозначает вероятность того, что произошли и событие A, и событие B одновременно, а P(B) обозначает вероятность события B.

Здесь нам известно, что монету подбросили 6 раз, а "решка" выпала 4 раза, то есть \((H, H, H, T, T, T)\). Всего возможно \(2^6 = 64\) равновероятных исхода, так как у нас 6 независимых подбрасываний и монета может выпасть "орлом" или "решкой".

Теперь посчитаем вероятность P(B). Мы хотим, чтобы монета выпала "решкой" ровно 4 раза из 6. Существует \(C(6, 4)\) способов выбрать 4 из 6 подбрасываний, где выпадет "решка", и также существует \(2^6\) равновероятных исходов. Поэтому:

\[ P(B) = \frac{C(6, 4)}{2^6} = \frac{15}{64} \]

Теперь нам нужно вычислить вероятность P(A \cap B). Как говорилось выше, событие A состоит в том, чтобы выпала "решка" при первых трёх подбрасываниях. Но также мы знаем, что "решка" выпала 4 раза вообще. То есть события A и B произошли только тогда, когда событие A произошло в первых трёх подбрасываниях, а после этого "решка" выпала ещё 1 раз из оставшихся 3 подбрасываний. Это может произойти только в одном случае: \((H, H, H, T)\).

Поэтому вероятность P(A \cap B) равна 1/2^4, так как у нас есть 2 возможных исхода оставшихся 4 подбрасываний, и в одном исходе "решка" выпала 1 раз. Таким образом:

\[ P(A \cap B) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \]

Теперь мы можем вычислить условную вероятность P(A|B) с помощью формулы условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{15}{64}} = \frac{4}{15} \]

Итак, вероятность выпадения "решки" при первых трёх подбрасываниях монеты, если известно, что "решка" выпала 4 раза при 6 подбрасываниях, составляет 4/15.