Какова высота цилиндра с радиусом 5 см, если плоскость, образующая углы в 60° с плоскостями оснований цилиндра

Vechnaya_Zima

64

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

1. Начнем с того, что у нас есть цилиндр с радиусом 5 см. Радиус цилиндра - это расстояние от центра основания до боковой поверхности. Обозначим радиус как \(r = 5\) см.

2. Теперь, нам нужно понять, что происходит с плоскостью, образующей углы в 60° с плоскостями оснований. Эта плоскость пересекает оба основания цилиндра, образуя две хорды.

3. У нас есть информация о длине одной из хорд - 6 см. Обозначим эту длину как \(d = 6\) см.

4. Важно заметить, что хорда является отрезком, соединяющим две точки на окружности. В данном случае, эти точки - точки пересечения основания цилиндра и плоскости. Пусть \(A\) и \(B\) - это эти точки пересечения.

5. Так как угол между плоскостью и плоскостью основания составляет 60°, то у нас имеется равносторонний треугольник \(AOB\), где \(O\) - это центр основания цилиндра.

6. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Поэтому длина каждой стороны равна \(d = 6\) см.

7. Обратите внимание, что сторона треугольника \(AB\) - это диаметр окружности. В данном случае, диаметр окружности равен 6 см.

8. Так как \(AB\) - это диаметр окружности, то длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. В нашем случае, это \(2\pi \cdot 5\) см.

9. Теперь у нас есть два пути, чтобы понять высоту цилиндра. Мы можем использовать теорему Пифагора или использовать тригонометрию.

10. Для простоты давайте воспользуемся теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике \(AOB\) с гипотенузой \(AB\) и катетами \(r\) и \(h\), где \(h\) - это высота цилиндра, верно следующее: \(AB^2 = r^2 + h^2\).

11. Зная, что длина гипотенузы равна \(AB = 6\) см и радиус цилиндра \(r = 5\) см, мы можем найти высоту цилиндра \(h\):

\[AB^2 = r^2 + h^2\]
\[6^2 = 5^2 + h^2\]
\[36 = 25 + h^2\]
\[h^2 = 36 - 25\]
\[h^2 = 11\]

12. Чтобы найти высоту цилиндра, нужно взять квадратный корень из обоих сторон:

\[h = \sqrt{11}\]

13. Значение корня из 11 в более точной десятичной форме составляет примерно 3,31662479. Поэтому высота цилиндра составляет около 3,31662479 см.

Таким образом, высота цилиндра с радиусом 5 см составляет примерно 3,31662479 см.