Какова высота и боковая сторона равнобокой трапеции с основаниями в 10 и 8 см, когда диагонали перпендикулярны

Щавель

53

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойство равнобокой трапеции, а именно то, что диагонали перпендикулярны к боковым сторонам.

Введем обозначения: пусть \(ABCD\) - равнобокая трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, а \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны.

Для начала построим диагонали. Так как диагонали перпендикулярны к боковым сторонам, мы знаем, что \(AD \perp BC\) и \(AB \perp CD\). Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\).

Теперь мы можем принять несколько утверждений:
1. В равнобокой трапеции, боковые стороны равны между собой. То есть, \(AD = BC\).
2. В прямоугольном треугольнике \(ABO\) прямые \(AB\) и \(AO\) являются высотой и гипотенузой соответственно. Аналогично, в прямоугольном треугольнике \(BCO\) прямые \(BC\) и \(BO\) являются высотой и гипотенузой соответственно.
3. В прямоугольном треугольнике \(ABO\) справедлива теорема Пифагора: \(AB^2 = AO^2 + BO^2\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABO\).

Из свойства перпендикулярных диагоналей следует, что угол \(AOB\) прямой, а значит, мы имеем дело с прямоугольным треугольником. Длины катетов в данном треугольнике равны \(AB = 10\) см и \(AO = \frac{AD}{2}\).

Теперь можно применить теорему Пифагора:
\[
AB^2 = AO^2 + BO^2
\]
\[
10^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + BO^2
\]

Осталось выразить \(BO\) и \(AD\) через известные значения.

Так как \(AD = BC\) иполучаем:
\[
10^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + BO^2
\]
\[
10^2 = \frac{BC^2}{4} + BO^2
\]

Теперь, зная, что \(ABCD\) - равнобокая трапеция с основаниями в 10 и 8 см, можем написать систему уравнений:
\[
\begin{cases}
AD = BC \\
AB^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + BO^2 \\
AB = 10 \\
BC = 8
\end{cases}
\]

Заметим, что поскольку \(ABCD\) - равнобокая трапеция, её боковые стороны равны между собой, то есть \(AD = BC\). Можем это использовать:
\[
\begin{cases}
AD = BC \\
100 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + BO^2 \\
AD = BC \\
AB = 10 \\
BC = 8
\end{cases}
\]

Таким образом, получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
AD = BC \\
100 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + BO^2 \\
AD = BC \\
BC = 8
\end{cases}
\]

Подставим \(BC = 8\) в первое и второе уравнения:
\[
\begin{cases}
AD = BC \\
100 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 + BO^2 \\
AD = 8 \\
BC = 8
\end{cases}
\]

Решим получившуюся систему уравнений:
\[
\begin{cases}
AD = BC = 8 \\
100 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 + BO^2 \\
\end{cases}
\]

Таким образом, высота трапеции \(AD = BC = 8\) см.

Для нахождения \(BO\) подставим известные значения во второе уравнение:
\[
100 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 + BO^2
\]

Решим уравнение:
\[
100 = 4 + BO^2
\]
\[
BO^2 = 100 - 4
\]
\[
BO^2 = 96
\]
\[
BO = \sqrt{96}
\]
\[
BO = 4\sqrt{6}
\]

Таким образом, боковая сторона трапеции \(BO = 4\sqrt{6}\) см.

В итоге, мы получаем, что высота равнобокой трапеции равна 8 см, а боковая сторона равна \(4\sqrt{6}\) см.