Какова высота, на которой гравитационная сила, воздействующая на тело, будет в 6.5 раза слабее, чем на поверхности

Letayuschaya_Zhirafa_5864

30

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о законе всемирного тяготения Ньютона и формуле для расчёта гравитационной силы.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Масса тела не меняется при перемещении его на разные высоты, поэтому для нашего случая можно сказать, что масса тела остается неизменной. Используя это утверждение, мы можем выразить зависимость гравитационной силы от расстояния на формуле:

\[ F = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} \],

где:
F - гравитационная сила,
G - гравитационная постоянная (приблизительно равна \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\),
M - масса Земли (\(\approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})\),
m - масса тела,
r - расстояние от центра Земли до центра тела.

Мы знаем, что гравитационная сила на высоте будет в 6.5 раза слабее, чем на поверхности Земли. Это означает, что

\[ \frac{F_{\text{высота}}}{F_{\text{поверхность}}} = 6.5. \]

Обозначим \( h \) высоту, на которой гравитационная сила будет в 6.5 раза слабее. Тогда расстояние \( r \) от центра Земли до центра тела на этой высоте будет равно сумме радиуса Земли и высоты \( h \):

\[ r = 6370 + h. \]

Теперь мы можем использовать полученные уравнения для решения задачи. Подставим все известные значения в формулу для гравитационной силы и уравнение отношения сил:

\[ G \cdot \frac{M \cdot m}{(6370 + h)^2} = 6.5 \cdot G \cdot \frac{M \cdot m}{6370^2}. \]

Упростим это уравнение, сократив на \( G \cdot M \cdot m \).

\[ \frac{1}{(6370 + h)^2} = 6.5 \cdot \frac{1}{6370^2}. \]

Теперь найдём значение \( h \) путем решения полученного уравнения:

\[ (6370 + h)^2 = \frac{6370^2}{6.5}. \]

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

\[ 6370^2 + 2 \cdot 6370 \cdot h + h^2 = \frac{6370^2}{6.5}. \]

Далее решим это уравнение относительно \( h \):

\[ h^2 + 2 \cdot 6370 \cdot h + 6370^2 - \frac{6370^2}{6.5} = 0. \]

Найденное квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение общего вида \( ax^2 + bx + c = 0 \). В нашем случае:

\[ a = 1, \quad b = 2 \cdot 6370 = 12740, \quad c = 6370^2 - \frac{6370^2}{6.5}. \]

Подставим значения \( a \), \( b \), \( c \) в формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 12740^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(6370^2 - \frac{6370^2}{6.5}\right). \]

Вычислим полученное выражение и найдем значение дискриминанта \( D \):

\[ D \approx 32585600. \]

Так как дискриминант \( D > 0 \), тогда квадратное уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами для нахождения корней:

\[ h_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad h_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения в эти формулы и найдем два значения для \( h \):

\[ h_1 \approx -14632.53, \quad h_2 \approx 628.53. \]

Так как высота не может быть отрицательной, то \( h \) должно быть равно примерно 628.53.

Ответ: Высота, на которой гравитационная сила, воздействующая на тело, будет в 6.5 раза слабее, чем на поверхности Земли, примерно равна 628.53 километрам.