Какова высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, если острый угол прямоугольного треугольника равен

Evgenyevich

59

Для начала рассмотрим данное условие: у нас есть прямоугольный треугольник с прямым углом и острым углом, равным 45 градусам. Пусть гипотенуза этого треугольника равна \(c\) (можно назвать её длиной гипотенузы). Наша задача - найти высоту, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

Для решения этой задачи можем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрический подход.

Поскольку угол прямоугольного треугольника равны 45 градусам, то острый угол, не прямой, также равен 45 градусам. Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

У нас есть следующие соотношения:

\[
\begin{align*}
\sin 45^\circ &= \frac{a}{c} \quad \text{(определение синуса)} \\
\cos 45^\circ &= \frac{b}{c} \quad \text{(определение косинуса)} \\
\tan 45^\circ &= \frac{a}{b} \quad \text{(определение тангенса)}
\end{align*}
\]

Поскольку острый угол равен 45 градусам, мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ\), и обозначим это значение как \(k\):

\[
k = \sin 45^\circ = \cos 45^\circ
\]

Теперь, найдем значения катетов \(a\) и \(b\) с использованием данного значения \(k\):

\[
a = k \cdot c \quad \text{(из определения синуса)}
\]
\[
b = k \cdot c \quad \text{(из определения косинуса)}
\]

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является катетом, а значит, длина этой высоты равна \(a\) (или \(b\)). Таким образом, высота равна:

\[
\text{высота} = a = k \cdot c
\]

Учитывая, что \(c\) - длина гипотенузы, ответ на задачу будет:

\[
\text{высота} = k \cdot c
\]

Мы можем выразить \(k\) через тригонометрическое тождество:

\[
k = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, окончательный ответ:

\[
\text{высота} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot c
\]

При подставлении известного значения гипотенузы, высоту можно найти численно.