Какова площадь внешнего и внутреннего кругов в случае, когда радиус вписанного круга в равносторонний треугольник равен

Anatoliy

44

Для начала, давайте разберемся, что такое вписанный круг и равносторонний треугольник. Вписанный круг - это круг, который полностью помещается внутри треугольника и касается всех трех сторон треугольника. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой.

Теперь перейдем к решению задачи. Пусть \(R\) - радиус равностороннего треугольника, а \(r\) - радиус вписанного круга.

Заметим, что радиус вписанного круга является расстоянием между центром круга и одной из вершин равностороннего треугольника. По свойствам равностороннего треугольника, это расстояние равно одной трети высоты треугольника.

Высота равностороннего треугольника может быть найдена через формулу:

\[h = R \cdot \sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, радиус вписанного круга можно найти как:

\[r = \frac{h}{3} = \frac{R \cdot \sqrt{3}}{3}\]

Для нахождения площади внешнего круга используется формула для площади круга:

\[S_{внешнего} = \pi \cdot R^2\]

А для площади внутреннего круга используется аналогичная формула:

\[S_{внутреннего} = \pi \cdot r^2\]

Теперь подставим значения радиусов:

\[S_{внешнего} = \pi \cdot R^2\]
\[S_{внутреннего} = \pi \cdot \left(\frac{R \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^2\]

Таким образом, площадь внешнего круга будет равна \( \pi \cdot R^2\), а площадь внутреннего круга будет равна \( \pi \cdot \frac{R^2 \cdot 3}{9}\).

Теперь, чтобы найти разность этих двух площадей, вычтем площадь внутреннего круга из площади внешнего круга:

\[S_{разности} = S_{внешнего} - S_{внутреннего} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot \frac{R^2 \cdot 3}{9}\]

\[S_{разности} = \pi \cdot R^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)\]

\[S_{разности} = \pi \cdot R^2 \cdot \frac{2}{3}\]

Таким образом, площадь разности между внешним и внутренним кругами равна \( \pi \cdot R^2 \cdot \frac{2}{3}\).

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти площадь внешнего и внутреннего кругов в случае, когда радиус вписанного круга в равносторонний треугольник равен \( \frac{R \cdot \sqrt{3}}{3} \). Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!