Какова высота, опущенная на большую сторону треугольника, если его стороны равны 4, 5 и корень

Самбука_8402

23

Дано: стороны треугольника равны 4, 5 и \(\sqrt{13}\).

Чтобы найти высоту, опущенную на большую сторону треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника. Затем, используя найденную площадь и основание треугольника, мы можем найти высоту.

Давайте начнем с нахождения площади треугольника. Мы можем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - это стороны треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Подставляя значения сторон в формулу, получим:

\[p = \frac{4 + 5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}\]

\[S = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{13}}{2} \cdot \left(\frac{9 + \sqrt{13}}{2} - 4\right) \cdot \left(\frac{9 + \sqrt{13}}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{9 + \sqrt{13}}{2} - \sqrt{13}\right)}\]

\[S = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{13}}{2} \cdot \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right) \cdot \left(\frac{9 - \sqrt{13}}{2}\right)}\]

\[S = \sqrt{\frac{1}{16} (169 - 13\sqrt{13})} = \frac{1}{4} \sqrt{169 - 13\sqrt{13}}\]

Теперь у нас есть площадь треугольника. Чтобы найти высоту, опущенную на большую сторону, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Заменяя значения, получим:

\[\frac{1}{4} \sqrt{169 - 13\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \times 5 \times \text{высота}\]

\[\text{высота} = \frac{\frac{1}{4} \sqrt{169 - 13\sqrt{13}}}{\frac{1}{2} \times 5} = \frac{\sqrt{169 - 13\sqrt{13}}}{10}\]

Таким образом, высота, опущенная на большую сторону треугольника, равна \(\frac{\sqrt{169 - 13\sqrt{13}}}{10}\).