Какова высота правильной треугольной пирамиды, если ее основание имеет сторону длиной 5 см, а отношение площади

Solnechnaya_Zvezda_853

30

Для начала, давайте определимся с основными понятиями. Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, и все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Пусть сторона треугольника \(a\) равна 5 см. Раз у нас равносторонний треугольник, то все его стороны равны 5 см.

Теперь давайте обратим внимание на отношение площади основания \(S_{\text{осн}}\) к площади боковой грани \(S_{\text{бок}}\), которое составляет 3:7. Мы можем записать это отношение как \(\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \frac{3}{7}\).

Площадь основания равно площади равностороннего треугольника, которую можно вычислить по формуле \(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Теперь нам нужно найти площадь боковой грани. Обратите внимание, что наша треугольная пирамида имеет три равнобедренных треугольных боковых грани. Поэтому мы можем вычислить площадь одной боковой грани и затем умножить ее на 3.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}bh\), где \(b\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

Заметим, что высота треугольника также является высотой на его боковую сторону, поэтому она будет одной и той же для всех трех боковых граней.

Итак, у нас есть два уравнения:
1. \(\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \frac{3}{7}\)
2. \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}bh\)

Давайте решим эти уравнения поочередно.

Подставим выражение для \(S_{\text{осн}}\) и \(S_{\text{бок}}\) из полученных выше формул:

\(\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{1}{2}bh} = \frac{3}{7}\)

Теперь заменим сторону треугольника \(a\) на 5 см:

\(\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(5\, \text{см})^2}{\frac{1}{2}bh} = \frac{3}{7}\)

Упростим выражения:

\(\frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25}{\frac{1}{2}bh} = \frac{3}{7}\)

\(\frac{\frac{25\sqrt{3}}{4}}{\frac{bh}{2}} = \frac{3}{7}\)

Мы можем избавиться от дробей, помножив обе части уравнения на \(\frac{bh}{2}\):

\(\frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{3bh}{7 \cdot 2}\)

\(\frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{3bh}{14}\)

Теперь избавимся от дроби в левой части, умножив обе части уравнения на \(\frac{4}{25\sqrt{3}}\):

\(1 = \frac{3bh}{14} \cdot \frac{4}{25\sqrt{3}}\)

\(1 = \frac{3bh \cdot 4}{14 \cdot 25\sqrt{3}}\)

\(1 = \frac{12bh}{14 \cdot 25\sqrt{3}}\)

\(1 = \frac{6bh}{7 \cdot 25\sqrt{3}}\)

Теперь мы можем выразить высоту \(h\):

\(h = \frac{7 \cdot 25\sqrt{3}}{6b}\)

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{7 \cdot 25\sqrt{3}}{6b}\), где \(b\) - длина основания треугольника (равная 5 см).

Таким образом, высота пирамиды равна \(\frac{7 \cdot 25\sqrt{3}}{6 \cdot 5}\) см.

Выполняя вычисления, получаем:

\(h = \frac{175\sqrt{3}}{30} \approx 10.176\, \text{см}\)

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды составляет примерно 10.176 см.