Какова высота правильной треугольной пирамиды с основанием длиной 42 см и боковым ребром, образующим угол

Сладкий_Ангел

43

Для того чтобы найти высоту треугольной пирамиды, нам потребуется применить теорему Пифагора и знание тригонометрии. Начнем с пошагового решения.

Шаг 1: Найдем длину высоты треугольника основания. Для этого можно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания пирамиды, ее высотой и боковым ребром. По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где a и b - катеты, а c - гипотенуза треугольника. В нашем случае боковое ребро будет гипотенузой, а высота и половина основания - катетами.

Пусть a будет равно половине длины основания пирамиды, то есть \(a = \frac{42}{2} = 21\) см. Пусть b будет длиной высоты треугольника основания, и c будет длиной бокового ребра пирамиды.

Тогда применяя теорему Пифагора, получаем:

\[21^2 + b^2 = c^2\]

Шаг 2: Теперь найдем длину бокового ребра пирамиды. Для этого нам дано, что боковое ребро образует угол 30° с плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, его высотой (высота треугольника основания) и отрезком, который является проекцией бокового ребра на плоскость основания треугольной пирамиды.

Пусть \(h_1\) будет длиной высоты треугольника основания, а \(h_2\) будет длиной высоты, спроецированной на плоскость основания (половиной бокового ребра).

Тогда получаем, что:

\[\tan(30°) = \frac{h_2}{h_1}\]

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_2}{h_1}\]

\[h_2 = \frac{h_1}{\sqrt{3}}\]

Из шага 1 известно, что \(h_1 = b\), следовательно:

\[h_2 = \frac{b}{\sqrt{3}}\]

Шаг 3: Наконец, найдем высоту треугольной пирамиды. Зная, что \(h_2\) это половина бокового ребра, можем получить, что высота треугольной пирамиды равна:

\[h = 2 \cdot h_2 = 2 \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{2b}{\sqrt{3}}\]

Теперь, если подставить значение b из шага 1:

\[h = \frac{2 \cdot 21}{\sqrt{3}} = \frac{42}{\sqrt{3}}\]

Чтобы получить приближенное значение, можно округлить этот результат. Рассчитаем значение:

\[h \approx \frac{42}{\sqrt{3}} \approx 24.26\]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды с основанием длиной 42 см и боковым ребром, образующим угол 30° с плоскостью основания, примерно равна 24.26 см.