Какие углы треугольника MONK, если известно, что в треугольнике ABC длина стороны AB равна 4 см, BC равна 1

Sladkaya_Siren

38

Чтобы найти углы треугольника MONK, будем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и его углы.

Теорема косинусов гласит: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\), где \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\), \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон, а \(\cos C\) - косинус угла \(C\).

В нашем случае у нас есть значения длин всех сторон треугольника MNK: \(MK = 8\), \(MN = 12\) и \(KN = 14\).

Для удобства, построим треугольник ABC и обозначим углы этого треугольника как \(B\) и \(C\). Также обратим внимание, что треугольники MON и ABC подобны, так как имеют соответствующие равные углы. Это означает, что отношение длин сторон в этих треугольниках одинаковое.

Теперь, используя теорему косинусов для треугольника ABC, мы можем найти косинус угла \(B\):

\[\cos B = \frac{{AC^2 + AB^2 - BC^2}}{{2 \cdot AC \cdot AB}} = \frac{{6^2 + 4^2 - 1^2}}{{2 \cdot 6 \cdot 4}} = \frac{{36 + 16 - 1}}{{48}} = \frac{{51}}{{48}}\]

Теперь, используя тот же самый косинус для треугольника MONK, мы можем найти угол \(N\):

\[\cos N = \frac{{MK^2 + MN^2 - KN^2}}{{2 \cdot MK \cdot MN}} = \frac{{8^2 + 12^2 - 14^2}}{{2 \cdot 8 \cdot 12}} = \frac{{64 + 144 - 196}}{{192}} = -\frac{{-40}}{{192}} = -\frac{{5}}{{24}}\]

Теперь найдем косинус угла \(M\):

\[\cos M = \cos(N - B) = \cos N \cdot \cos B + \sin N \cdot \sin B = -\frac{{5}}{{24}} \cdot \frac{{51}}{{48}} + \sqrt{1 - \left(-\frac{{5}}{{24}}\right)^2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{{51}}{{48}}\right)^2}\]

Разложим выражение с помощью тригонометрических тождеств и проделаем соответствующие вычисления:

\[\cos M = -\frac{{5}}{{24}} \cdot \frac{{51}}{{48}} + \sqrt{1 - \left(-\frac{{5}}{{24}}\right)^2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{{51}}{{48}}\right)^2}\]
\[\cos M = -\frac{{85}}{{384}} + \sqrt{1 - \frac{{25}}{{576}}} \cdot \sqrt{1 - \frac{{2601}}{{2304}}}\]
\[\cos M = -\frac{{85}}{{384}} + \sqrt{\frac{{551}}{{576}}} \cdot \sqrt{\frac{{703}}{{2304}}}\]
\[\cos M = -\frac{{85}}{{384}} + \frac{{\sqrt{{551 \cdot 703}}}}{{\sqrt{{576 \cdot 2304}}}}\]
\[\cos M = -\frac{{85}}{{384}} + \frac{{\sqrt{{387953}}}}{{1728}}\]
\[\cos M \approx -0.2884 + 0.9354\]
\[\cos M \approx 0.6470\]

Теперь найдем угол \(M\) с помощью арккосинуса:

\[M = \cos^{-1} (0.6470)\]
\[M \approx 49.88^\circ\]

Итак, получили значения углов треугольника MONK: \(M \approx 49.88^\circ\), \(O = 180^\circ - M - N\) и \(K = 180^\circ - O\). Точные значения этих углов можете выразить используя дополнительные функции исходного угла \(A\), но для округления до двух знаков после запятой значения углов можно использовать десятичные значения.

Ответ:
Угол \(M \approx 49.88^\circ\)
Угол \(O \approx 108.79^\circ\)
Угол \(K \approx 21.33^\circ\)