Какова высота, проведенная к наименьшей стороне треугольника ABC, если его стороны равны 18, 24

Барбос_2947

59

Для решения этой задачи, мы можем использовать различные геометрические свойства треугольников.

Дано: стороны треугольника ABC равны 18, 24 и 30.
Мы знаем, что наименьшая сторона соответствует наименьшему углу против нее. Предположим, что сторона BC (длиной 18) является наименьшей.

Используя формулу площади треугольника, можем разделить треугольник ABC на два треугольника.
Площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух треугольников, которые образуются, когда проводим высоту из вершины A к стороне BC.

Зная формулу площади треугольника через его стороны и полупериметр (s), можем рассчитать площади.

Сначала найдем полупериметр треугольника ABC:
\[s = \frac{1}{2}(a + b + c) = \frac{1}{2}(18 + 24 + 30) = 36\]

Теперь, используя формулу Герона для площади треугольника, можем расчитать площадь треугольника ABC:
\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36\cdot18\cdot12\cdot6} = 3\sqrt{6}\cdot6\sqrt{2} = 18\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(18\sqrt{3}\).

Затем мы можем найти площадь двух треугольников, которые образуются при проведении высоты из вершины A к стороне BC.

Пусть BC будет базой, а AD - высотой.

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, то есть:
\[S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot 18\]
и
\[S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot 24 \]

Сумма площадей треугольников должна быть равна площади треугольника ABC, поэтому:
\[S_{\triangle ADB} + S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ABC}\]

Подставляем значения и получаем:
\[\frac{1}{2} \cdot AD \cdot 18 + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot 24 = 18\sqrt{3}\]

Упрощаем это уравнение:
\[9 \cdot AD + 12 \cdot AD = 18\sqrt{3}\]
\[21 \cdot AD = 18\sqrt{3}\]
\[AD = \frac{18\sqrt{3}}{21} = \frac{6\sqrt{3}}{7}\]

Таким образом, высота, проведенная к наименьшей стороне треугольника ABC, равна \(\frac{6\sqrt{3}}{7}\).