Какова высота прямоугольного параллелепипеда, если угол между диагональю и плоскостью основания составляет 60°

Цветок_5097

44

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство прямоугольного параллелепипеда. Давайте разберемся.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны \(a\) и \(b\), а его высота равна \(h\). Кроме того, у нас есть угол между диагональю и плоскостью основания, который составляет 60°.

При таких условиях, мы можем применить тригонометрические соотношения. Для этой задачи особенно полезны будут соотношения в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что косинус угла между диагональю и основанием равен отношению катета (высоты) к гипотенузе (диагонали). Тогда мы можем записать соотношение:

\[\cos(60°) = \frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно высоты \(h\). Для удобства, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[\cos^2(60°) = \left(\frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2\]

Так как \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{h^2}{a^2 + b^2}\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{1}{4} = \frac{h^2}{a^2 + b^2}\]

Теперь мы можем умножить обе части уравнения на \((a^2 + b^2)\), чтобы избавиться от дроби:

\[\frac{1}{4}(a^2 + b^2) = h^2\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[h = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}\).

В данном случае, где стороны основания равны 7 и 5, высота прямоугольного параллелепипеда будет:

\[h = \sqrt{\frac{7^2 + 5^2}{4}} = \sqrt{\frac{49 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{74}{4}} = \sqrt{18.5} \approx 4.30\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 4.30.

Давайте проверим наш ответ. Если вы хотите убедиться в правильности расчетов, вы можете подставить данную высоту обратно в исходное уравнение и убедиться, что получится \(1/2\).