Какова высота шарового слоя и цилиндра, если тело, заключенное между их боковыми поверхностями, имеет объем 36π см3?

Сергей

32

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулы для вычисления объема шарового слоя и цилиндра.

Первым шагом рассмотрим шаровой слой. Чтобы найти его объем, воспользуемся формулой:

\[V_{\text{шарового слоя}} = \frac{4}{3}\pi(R_1^3 - R_2^3),\]

где \(R_1\) - радиус наружного шара (в нашем случае это радиус цилиндра), а \(R_2\) - радиус внутреннего шара (в нашем случае это радиус шарового слоя).

Поскольку у нас нет никакой информации о радиусе шарового слоя, пока мы не можем найти его объем.

Теперь рассмотрим цилиндр. Формула для вычисления объема цилиндра:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h,\]

где \(R\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота.

Мы знаем, что тело, заключенное между боковыми поверхностями шарового слоя и цилиндра, имеет объем 36π см³. Это означает, что сумма объемов шарового слоя и цилиндра равна 36π см³:

\[V_{\text{шарового слоя}} + V_{\text{цилиндра}} = 36\pi.\]

Итак, мы имеем два неизвестных - объем шарового слоя и высоту цилиндра. Нам необходимо установить зависимость между этими переменными.

У нас есть следующая формула для объема шарового слоя:

\[V_{\text{шарового слоя}} = \frac{4}{3}\pi(R_1^3 - R_2^3).\]

Мы знаем, что \(V_{\text{шарового слоя}} + V_{\text{цилиндра}} = 36\pi\). Подставим в это уравнение формулу для объема шарового слоя:

\[\frac{4}{3}\pi(R_1^3 - R_2^3) + \pi R^2 h = 36\pi.\]

Мы также можем применить формулу радиуса цилиндра:

\[R = R_2 + h.\]

Итак, у нас есть два уравнения:

\[\frac{4}{3}\pi(R_1^3 - R_2^3) + \pi(R_2 + h)^2h = 36\pi,\\
R = R_2 + h.\]

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения \(R_2\) и \(h\). Сначала решим второе уравнение относительно \(R_2\):

\[R_2 = R - h.\]

Теперь заменим \(R_2\) в первом уравнении и решим его:

\[\frac{4}{3}\pi(R_1^3 - (R - h)^3) + \pi(R + h)^2h = 36\pi.\]

После упрощения этого уравнения и преобразования его в алгебраическую форму мы найдем высоту \(h\).

После нахождения \(h\) мы можем использовать формулу \(R = R_2 + h\), чтобы найти радиус \(R\) исходного цилиндра.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти высоту шарового слоя и цилиндра, если тело, заключенное между их боковыми поверхностями, имеет объем 36π см³.