Какова высота треугольной пирамиды, если все боковые грани образуют равные двугранные углы β и равны 12 см? Найдите

Николаевна

16

Для решения этой задачи, давайте первым делом разберемся, что такое двугранные углы и что такое апофемы пирамиды.

Двугранный угол - это угол, образованный двумя боковыми гранями пирамиды и основанием, прилегающим к этим граням. Он обладает тем свойством, что его две половинки являются равными.

Апофема пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В данном случае, мы хотим найти высоту треугольной пирамиды и апофемы.

Для начала обратим внимание на то, что все боковые грани образуют равные двугранные углы β. Это означает, что все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Поскольку боковые грани равными, у нас есть три равнобедренных треугольника.

Таким образом, у нас есть треугольная пирамида, у которой все боковые грани являются равнобедренными треугольниками с равными сторонами 12 см. Давайте обозначим высоту пирамиды как h и апофему как r.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать одну из боковых граней и теорему Пифагора. Обратимся к одному из равнобедренных треугольников, где две стороны равны 12 см, а третья сторона - апофема r. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$$c^2=a^2+b^2$$

где c - гипотенуза (апофема), a и b - катеты (стороны равные 12 см).

Применяя формулу к нашей задаче, получаем:

$$r^2={12}^2+{12}^2$$
$$r^2=144+144$$
$$r^2=288$$
$$r=\sqrt{288}$$

Таким образом, апофема пирамиды (или гипотенуза равнобедренного треугольника) равна $\sqrt{288}$ см.

Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится еще одна формула для равнобедренного треугольника, которая связывает высоту пирамиды, апофему и основание. Формула выглядит так:

$$h=\sqrt{r^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$

где h - высота пирамиды, r - апофема (гипотенуза), a - длина стороны равная 12 см (основание).

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

$$h=\sqrt{{\sqrt{288}}^2-{\left(\frac{12}{2}\right)}^2}$$
$$h=\sqrt{288-36}$$
$$h=\sqrt{252}$$

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна $\sqrt{252}$ см.

Итак, ответ на задачу:

Высота треугольной пирамиды, при условии, что все боковые грани образуют равные двугранные углы β и равны 12 см, составляет $\sqrt{252}$ см, а апофема пирамиды равняется $\sqrt{288}$ см.