Какова высота усеченного конуса, если радиусы его оснований составляют 10 см и 4 см, а образующая наклонена к плоскости

Zolotoy_Korol

63

Для того чтобы найти высоту усеченного конуса, нам понадобится использовать теорему Пифагора и связь между радиусами, образующей и высотой конуса.

Первым шагом определим полную образующую, которая является отрезком, соединяющим вершины обоих оснований усеченного конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом большего основания, образующей и полной образующей конуса.

\[a^2 = b^2 + c^2\]

Где:
\(a\) - полная образующая (неизвестная).
\(b\) - половина разности радиусов оснований \(10-4 = 6\) см.
\(c\) - образующая, которая равна половине разности длин образующих прямых конуса, наклоненных к плоскости основания под углом в 45 градусов. Так как у них одинаковая длина, \(c\) будет равна половине образующей прямого конуса.

Таким образом, \(c = \frac{1}{2} \cdot \text{образующая прямого конуса}\).

В нашем случае, образующая прямого конуса будет равна длине диагонали основания большего основания усеченного конуса. Используя теорему Пифагора, найдем ее длину.

\[\text{образующая прямого конуса} = \sqrt{(\text{радиус большего основания})^2 + (\text{высота})^2}\]

Так как нам известен радиус большего основания усеченного конуса (10 см), поставим в эту формулу известные значения и найдем образующую прямого конуса.

\[\text{образующая прямого конуса} = \sqrt{(10 \, \text{см})^2 + (\text{высота})^2}\]

Теперь подставим полученное значение образующей прямого конуса в формулу для \(c\) и получим:

\(c = \frac{1}{2} \cdot \text{образующая прямого конуса}\)

Теперь у нас есть значение \(c\), радиусы оснований усеченного конуса (\(r_1 = 10 \, \text{см}\) и \(r_2 = 4 \, \text{см}\)), и нам нужно найти высоту усеченного конуса. Для этого воспользуемся связью между радиусами, образующей и высотой усеченного конуса.

\[h^2 = c^2 - (r_1 - r_2)^2\]

Подставим значения \(c\), \(r_1\) и \(r_2\) в эту формулу и найдем высоту усеченного конуса:

\[h^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \text{образующая прямого конуса}\right)^2 - (r_1 - r_2)^2\]

\[h = \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot \text{образующая прямого конуса}\right)^2 - (r_1 - r_2)^2}\]

Теперь осталось только подставить значения и рассчитать:

\[h = \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(10 \, \text{см})^2 + (\text{высота})^2}\right)^2 - (10 \, \text{см} - 4 \, \text{см})^2}\]

Пожалуйста, обратите внимание, что в данной формуле зависимость высоты от образующей является квадратной, поэтому для получения ответа придется решить получившееся квадратное уравнение. Проведите необходимые вычисления и найдите ответ на задачу.