Какова зависимость радиус-вектора точки от времени, если материальная точка начинает движение из начала координат

Муравей

27

Для работы с данной задачей мы можем воспользоваться принципом кинематики - производной радиус-вектора точки по времени.

Из условия задачи имеем, что скорость вектора \(\vec{v}\) материальной точки равна \(\vec{v} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - константы.

Радиус-вектор точки обозначим как \(\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}\), где \(x\) и \(y\) - координаты точки в плоскости xOy. Мы хотим найти зависимость \(\vec{r}\) от времени \(t\).

Применим к радиус-вектору \(\vec{r}\) производную по времени. Так как у нас задача двумерная, производная по времени будет иметь вид:

\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j}\)

Подставим значения скорости \(\vec{v}\) в полученное выражение:

\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}\)

Теперь у нас есть уравнение для производной радиус-вектора. Это уравнение можно представить в виде системы дифференциальных уравнений:

\(\frac{dx}{dt} = \alpha\)

\(\frac{dy}{dt} = \beta x\)

Решим эту систему дифференциальных уравнений. В первом уравнении получаем, что производная \(x\) по времени равна константе \(\alpha\). Интегрируя это уравнение по времени, получаем:

\(x(t) = \alpha t + C_1\)

Где \(C_1\) - постоянная интегрирования. Для определения этой постоянной, воспользуемся начальным условием, что начальные координаты определены как (0,0) (т.е. точка начинает движение из начала координат), то есть \(x(0) = 0\). Подставив это значение в полученное уравнение, получаем:

\(0 = \alpha \cdot 0 + C_1\)

\(C_1 = 0\)

Таким образом, получаем \(x(t) = \alpha t\).

Теперь второе уравнение, которое можно решить, используя метод разделения переменных. Распишем его и разделим на \(x\):

\(\frac{dy}{dt} = \beta x\)

\(\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \beta x\)

\(\frac{dy}{dx} = \beta\)

Интегрируя это уравнение по переменной \(x\), получаем:

\(y(x) = \beta \cdot \frac{x^2}{2} + C_2\)

Где \(C_2\) - постоянная интегрирования. Как и ранее, используем начальное условие, что начальные координаты определены как (0,0), то есть \(y(0) = 0\). Подставив это значение в полученное уравнение, получаем:

\(0 = \beta \cdot \frac{0^2}{2} + C_2\)

\(C_2 = 0\)

Таким образом, получаем \(y(x) = \beta \cdot \frac{x^2}{2}\).

Таким образом, зависимость радиус-вектора точки от времени будет выглядеть следующим образом:

\(\vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(x(t)) \vec{j}\)

\(\vec{r}(t) = \alpha t \vec{i} + \beta \cdot \frac{(\alpha t)^2}{2} \vec{j}\)

Это и есть искомая зависимость радиус-вектора точки от времени при заданных условиях.