Какова жесткость резинового жгутика длиной 37 см, если на него повесить груз массой 100 г? Какой будет период колебаний

Magicheskiy_Kot

59

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Чтобы определить жесткость резинового жгутика, мы можем использовать закон Гука, который говорит, что сила, с которой резиновый жгутик возвращается к исходной длине, пропорциональна его удлинению. Формула для закона Гука выглядит так:

\[ F = k \cdot \triangle l \]

где \( F \) - сила, примененная к жгутику, \( k \) - коэффициент жесткости (или жесткость) жгутика, а \( \triangle l \) - удлинение жгутика.

2. Для того чтобы найти коэффициент жесткости \( k \), нам необходимо поделить силу \( F \) на удлинение \( \triangle l \). Так как удлинение и сила связаны с помощью формулы

\[ \triangle l = \frac{F}{k} \]

то коэффициент жесткости может быть выражен как

\[ k = \frac{F}{\triangle l} \]

3. Экспериментально было установлено, что жесткость резинового жгутика зависит от его длины. Она пропорциональна обратной квадратичной функции от длины. То есть, формула для жесткости резинового жгутика выглядит следующим образом:

\[ k = \frac{c}{l^2} \]

где \( c \) - постоянный коэффициент, а \( l \) - длина жгутика.

4. Подставив значение жесткости \( k \) из формулы (3) в формулу (2), получим следующее выражение:

\[ \frac{F}{\triangle l} = \frac{c}{l^2} \]

5. Для определения значения константы \( c \), мы можем использовать данные, которые даны в задаче. Масса груза \( m \), повешенного на жгутик, связана с силой \( F \) по формуле \( F = m \cdot g \), где \( g \) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с^2). Таким образом, мы получаем:

\[ \frac{m \cdot g}{\triangle l} = \frac{c}{l^2} \]

6. Теперь мы можем подставить известные значения. Масса груза \( m = 100 \) г, \( g = 9,8 \) м/с^2, а длина жгутика \( l = 37 \) см (или 0,37 м). Подставляя значения в формулу (5), мы получаем:

\[ \frac{100 \cdot 9,8}{\triangle l} = \frac{c}{0,37^2} \]

7. Давайте найдем удлинение \( \triangle l \). Удлинение - это разница между исходной длиной жгутика и его удлиненной длиной, когда на него повешен груз. Исходная длина жгутика \( l_0 \) равна 37 см (или 0,37 м), и удлиненная длина \( l_1 \) может быть найдена с помощью формулы:

\[ l_1 = l_0 + \triangle l \]

или

\[ \triangle l = l_1 - l_0 \]

8. Период колебаний жгутика можно найти с помощью формулы:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( \pi \) - математическая константа, \( m \) - масса груза, \( k \) - жесткость жгутика.

9. Возвращаясь к формуле (5) и используя найденное значение жесткости резинового жгутика, мы можем найти период колебаний жгутика:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{100 \cdot 9,8}{\triangle l}}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{9800/\triangle l}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m \cdot \triangle l}{9800}} \]

Теперь мы можем подставить значение массы \( m = 100 \) г и удлинения \( \triangle l \), которое мы найдем в следующем шаге, чтобы найти период колебаний жгутика.

10. Чтобы найти удлинение \( \triangle l \), мы можем использовать формулу:

\[ \triangle l = \frac{F}{k} \]

где \( F = m \cdot g \) - сила, применяемая грузом, \( k \) - жесткость жгутика.

Подставляя значения \( m = 100 \) г, \( g = 9,8 \) м/с^2 и \( k \) из формулы (3), мы получим:

\[ \triangle l = \frac{m \cdot g}{\frac{c}{l^2}} \]

\[ \triangle l = \frac{m \cdot g \cdot l^2}{c} \]

Теперь мы можем подставить значения \( m = 100 \) г, \( g = 9,8 \) м/с^2, \( l = 0,37 \) м и \( c \), чтобы найти удлинение \( \triangle l \).

11. Подставляя все известные значения в формулу (10), мы найдем период колебаний жгутика.

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m \cdot \triangle l}{9800}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{100 \cdot (\frac{100 \cdot 9,8 \cdot 0,37^2}{c})}{9800}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{100 \cdot 9,8 \cdot 0,37^2}{c}} \]

Теперь мы можем найти период колебаний жгутика, если найдем значение константы \( c \).

12. Значение константы \( c \) может быть найдено путем экспериментального измерения жесткости жгутика разной длины и последующего построения графика зависимости жесткости от длины. По этому графику можно найти значение константы \( c \).