Каково будет ускорение тела через 2 часа, если оно находится на расстоянии s=1/4t^4+4t^3+16t^2км от места отправления

Zhanna

64

Для решения данной задачи нужно использовать формулу для ускорения \(a(t) = \frac{{d^2s}}{{dt^2}}\), где \(s\) - функция пути от времени \(t\).

Сначала найдем первую производную функции пути \(s\), чтобы найти скорость тела. Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности, используя правило дифференцирования степенной функции и правило суммы и произведения производных:

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{1}{4}t^4 + 4t^3 + 16t^2\right)
\]

Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 + 4 \cdot 3t^2 + 16 \cdot 2t
\]

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = t^3 + 12t^2 + 32t
\]

Теперь найдем вторую производную функции пути \(s\), чтобы найти ускорение тела. Снова возьмем производную каждого члена по отдельности:

\[
\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^3 + 12t^2 + 32t)
\]

Применяя правило суммы и произведения производных, получаем:

\[
\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 3t^2 + 2 \cdot 12t + 32
\]

\[
\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 3t^2 + 24t + 32
\]

Теперь, чтобы найти ускорение тела через 2 часа (\(t = 2\)), подставим \(t = 2\) в выражение для ускорения:

\[
a(2) = 3 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 + 32
\]

\[
a(2) = 12 + 48 + 32
\]

\[
a(2) = 92
\]

Таким образом, ускорение тела через 2 часа равно 92 км/ч\(^2\).