Найдите корни уравнения 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0, которые находятся в интервале от π/2

Янтарное

45

Для решения данного уравнения вам понадобится использовать несколько методов. Давайте начнем с того, что заменим функции синуса и косинуса их эквивалентными значениями из тригонометрической формулы:

\[sin2x = 2sinx*cosx\]

Подставим это в исходное уравнение:

\[3(2sinx*cosx) - 4cosx + 3sinx - 2 = 0\]

Теперь объединим члены синуса и косинуса:

\[6sinx*cosx - 4cosx + 3sinx - 2 = 0\]

Факторизуем этот полином:

\[(6sinx-4)(cosx+3) = 2\]

Заметим, что \((cosx+3)\) не может быть равно 2, так как косинус может принимать значение от -1 до 1. Поэтому рассмотрим первое слагаемое:

\[6sinx - 4 = 2\]

Далее, решим это уравнение относительно синуса:

\[6sinx = 6\]

\[sinx = 1\]

Чтобы найти значения x, принадлежащие интервалу от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\), нам нужно рассмотреть обратную функцию синуса:

\[x = arcsin(1)\]

Мы знаем, что для значения синуса, равного 1, обратный синус будет равен \(\frac{\pi}{2}\). Таким образом, единственным корнем уравнения в данном интервале будет:

\[x = \frac{\pi}{2}\]

Итак, единственным корнем уравнения \(3sin2x-4cosx+3sinx-2=0\) в интервале от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\) является \(x = \frac{\pi}{2}\).