Каково фокусное расстояние данной линзы, если расстояние от нее до объекта отличается на 3 см от расстояния

Солнечный_Зайчик_3400

6

Sure! Данная задача связана с оптикой и фокусными расстояниями линз. Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые оптические законы, а именно формула тонкой линзы и формула увеличения.

Формула тонкой линзы позволяет рассчитать фокусное расстояние линзы и выглядит следующим образом:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_o\) - расстояние от линзы до объекта, \(d_i\) - расстояние от линзы до изображения.

Также для решения задачи нам дано, что расстояние от линзы до объекта отличается на 3 см от расстояния до действительного изображения. Давайте обозначим расстояние от линзы до объекта как \(d_o\) и расстояние от линзы до изображения как \(d_i\). Тогда, согласно условию задачи, имеем следующее:

\[d_o - d_i = 3 \, \text{см}.\]

Теперь, чтобы решить задачу, нам необходимо составить уравнение на основе данной информации. Заметим, что в задаче не указано, является ли изображение действительным или виртуальным. Мы не будем делать предположений о том, является ли линза собирающей или рассеивающей, поэтому будем рассматривать все возможные варианты. Если объект является реальным, то \(d_o > 0\), а если объект является виртуальным, то \(d_o < 0\).

Вариант 1: Действительное изображение (линза собирающая)

Пусть изображение является действительным и линза является собирающей. В таком случае, расстояние до изображения \(d_i\) также будет положительным. Подставляя все значения в формулу тонкой линзы, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{(d_i + 3)} + \frac{1}{d_i}.\]

Формируя общий знаменатель, имеем:

\[\frac{1}{f} = \frac{d_i + 3 + d_i}{(d_i + 3) \cdot d_i}.\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{2d_i + 3}{d_i^2 + 3d_i}.\]

Далее, умножая обе части уравнения на \((d_i^2 + 3d_i)\), получаем квадратное уравнение:

\[d_i^2 + 3d_i = 2d_i^2 + 3d_i + 9f.\]

Как мы видим, зависимость от фокусного расстояния \(f\) представлена только константой \(9f\). Поэтому, решив данное квадратное уравнение, мы сможем найти значение \(d_i\) и, следовательно, фокусное расстояние \(f\).

Вариант 2: Виртуальное изображение (линза рассеивающая)

Пусть изображение является виртуальным и линза является рассеивающей. В этом случае, расстояние до изображения \(d_i\) будет отрицательным. Подставляя все значения в формулу тонкой линзы, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} - \frac{1}{|d_i|},\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{(d_i + 3)} - \frac{1}{|d_i|}.\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{d_i + 3 - |d_i|}{(d_i + 3) \cdot |d_i|}.\]

Здесь мы также получили квадратное уравнение, однако, нам необходимо провести дополнительное рассмотрение для решения данного уравнения. Рассмотрим два случая: \(d_i < 0\) и \(d_i > 0\).

- Для \(d_i < 0\), модуль \(|d_i|\) будет равен \(-d_i\). Подставляя значения в уравнение, имеем:

\[\frac{1}{f} = \frac{d_i + 3 + d_i}{(d_i + 3) \cdot (-d_i)}.\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{2d_i + 3}{-(d_i^2 + 3d_i)}.\]

В данном случае также получается квадратное уравнение с зависимостью только от константы \(3f\).

- Для \(d_i > 0\), модуль \(|d_i|\) будет равен \(d_i\). Подставляя значения в уравнение, имеем:

\[\frac{1}{f} = \frac{d_i + 3 - d_i}{(d_i + 3) \cdot d_i}.\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{3}{(d_i + 3) \cdot d_i}.\]

Здесь мы также имеем прямую зависимость от фокусного расстояния \(f\).

Итак, для обоих случаев, мы получили зависимости от фокусного расстояния только в виде констант. Решая данные квадратные уравнения, мы сможем найти значение \(d_i\) и, соответственно, фокусное расстояние \(f\).

Необходимо заметить, что подобные уравнения являются квадратными и могут иметь два корня. В этих случаях, оба значения должны быть учтены и правильным ответом будет являться пара фокусных расстояний (для каждого решения).

Итак, чтобы определить фокусное расстояние данной линзы, вам необходимо решить соответствующие квадратные уравнения, полученные при анализе двух возможных случаев (действительное и виртуальное изображение) и найти значения фокусного расстояния \(f\).