Каково геометрическое свойство четырехугольника ABCD, если справедливо равенство XC−→−+DX−→−=XB−→−+AX−→−?

Zolotoy_Lord

14

По задаче нам дано, что векторная сумма XC−→− и DX−→− равна векторной сумме XB−→− и AX−→−. Давайте разберемся с этим геометрическим свойством четырехугольника ABCD.

Возьмем точку D как начало координат (положим D(0,0)). Обозначим векторы XC−→−, DX−→−, XB−→− и AX−→− как векторы \(\vec{XC}\), \(\vec{XD}\), \(\vec{XB}\) и \(\vec{XA}\) соответственно.

Ранее мы установили, что \(\vec{XC} + \vec{XD} = \vec{XB} + \vec{XA}\).

Распишем это уравнение по координатам:

\(\vec{XC} = (x_C - x_0, y_C - y_0)\),
\(\vec{XD} = (x_D - x_0, y_D - y_0)\),
\(\vec{XB} = (x_B - x_0, y_B - y_0)\),
\(\vec{XA} = (x_A - x_0, y_A - y_0)\).

Теперь заметим, что если совпадение векторов выполняется, то соответствующие координаты векторов должны быть равны. Это дает нам следующие уравнения:

\(x_C - x_0 + x_D - x_0 = x_B - x_0 + x_A - x_0\),
\(y_C - y_0 + y_D - y_0 = y_B - y_0 + y_A - y_0\).

Упростим эти уравнения:

\(x_C + x_D = x_B + x_A\),
\(y_C + y_D = y_B + y_A\).

Мы видим, что сумма координат точек C и D равна сумме координат точек B и A. Это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, геометрическое свойство четырехугольника ABCD, при условии равенства векторной суммы XC−→− и DX−→− с векторной суммой XB−→− и AX−→−, заключается в том, что ABCD является параллелограммом.