Каково касательное ускорение точки в момент времени t=0,5, если точка движется по окружности с радиусом r=0,48

Parovoz

31

Для определения касательного ускорения точки на окружности, нам необходимо найти производную уравнения пути по времени движения точки. В данном случае, уравнение пути представлено как \(S = 0.5r t^4\), где \(S\) - путь, \(r\) - радиус окружности и \(t\) - время.

Давайте начнем с нахождения производной уравнения пути \(S\) по времени \(t\):

\[ \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} (0.5r t^4) \]

Нам потребуется применить правило дифференцирования степенной функции. Правило гласит, что производная функции \(f(x) = kx^n\) равна \(f"(x) = nkx^{n-1}\).

Применяя это правило, получаем:

\[ \frac{dS}{dt} = 0.5r \cdot 4t^{4-1} \]

упрощаем:

\[ \frac{dS}{dt} = 2rt^3 \]

Теперь у нас есть производная уравнения пути \(S\) по времени \(t\). Для нахождения касательного ускорения \(a_{танг}\), нам потребуется взять вторую производную уравнения пути по времени. Давайте найдем вторую производную:

\[ \frac{d^2 S}{dt^2} = \frac{d}{dt}(2rt^3) \]

В этом случае, правило дифференцирования степенной функции нам также поможет:

\[ \frac{d^2 S}{dt^2} = 2r \cdot 3t^{3-1} = 6rt^2 \]

Теперь у нас есть вторая производная уравнения пути \(S\) по времени \(t\), которая представляет собой искомое касательное ускорение \(a_{танг}\).

Чтобы определить значение касательного ускорения в момент времени \(t = 0,5\), заменим \(t\) на \(0,5\) в выражении для \(a_{танг}\):

\[ a_{танг} = 6r(0,5)^2 \]

Теперь, зная значение радиуса \(r = 0,48\), мы можем вычислить \(a_{танг}\):

\[ a_{танг} = 6 \cdot 0,48 \cdot 0,5^2 \]

Пожалуйста, используйте калькулятор для выполнения расчетов и найдите конечный результат. Убедитесь, что вы правильно округлили ответ до требуемого количества знаков после запятой в соответствии с заданием.