Каково количество шестнадцатеричных четырёхзначных чисел, у которых все цифры различны и никакие две чётные

Дружище

66

Чтобы решить данную задачу, начнем с анализа условий.

У нас есть несколько ограничений:

1) Все цифры должны быть различными. Это означает, что нам нужно выбрать 4 различные цифры из 16 возможных цифр шестнадцатеричной системы счисления (0-9 и A-F). Мы можем использовать комбинаторику для решения этой части задачи.

Чтобы выбрать 4 различные цифры из 16, мы можем воспользоваться формулой для количества комбинаций и перестановок. Воспользовавшись комбинацией, обозначаемой как \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем, мы можем записать формулу для решения данного ограничения:

\[
C(16, 4) = \frac{{16!}}{{4!(16-4)!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1820.
\]

То есть, у нас есть 1820 способов выбрать 4 различные цифры.

2) Никакие две четные или две нечетные цифры не могут следовать друг за другом. Чтобы учесть это условие, мы можем рассмотреть несколько случаев:

а) Ни одна четная цифра не следует за другой. В этом случае, у нас остается только 8 четных цифр для выбора (0, 2, 4, 6, 8, A, C, E) и 8 нечетных цифр для выбора (1, 3, 5, 7, 9, B, D, F).

Для выбора первой цифры у нас есть 16 возможностей (8 четных и 8 нечетных). Для выбора второй цифры у нас остается только 8 возможных нечетных цифр. Для выбора третьей цифры у нас снова есть 16 возможностей, так как мы можем выбрать любую цифру. Наконец, для выбора четвертой цифры у нас остается 8 возможных нечетных цифр.

Таким образом, количество четырехзначных шестнадцатеричных чисел, удовлетворяющих этому условию, равно:

\[
16 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 8 = 8192.
\]

б) Одна четная цифра следует за другой (что недопустимо). В этом случае у нас есть 8 четных цифр и 8 нечетных цифр. Выбираем первую цифру - это 16 вариантов. Выбираем первую из двух последовательных четных цифр - это 8 вариантов, так как у нас есть только 8 четных цифр. Для выбора третьей цифры у нас снова есть 16 возможностей (любая цифра). Наконец, для выбора четвертой цифры у нас остается 8 возможных нечетных цифр.

Теперь нужно учесть, что у нас есть два положения, где две четные цифры могут следовать друг за другом (т.е. первая и вторая цифры или третья и четвертая цифра). Таким образом, количество четырехзначных шестнадцатеричных чисел, удовлетворяющих этому условию, равно:

\[
2 \cdot 16 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 8 = 8192.
\]

Таким образом, общее количество шестнадцатеричных четырехзначных чисел, у которых все цифры различны и никакие две четные или две нечетные цифры не следуют друг за другом, равно:

\[
1820 + 8192 = 10012.
\]