Каково максимально возможное значение периметра треугольника, описанного вокруг окружности, радиус которой составляет

Letuchiy_Mysh

26

Давайте решим эту задачу.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. У нас есть две известные стороны треугольника, длина которых составляет 3 см. Пусть третья сторона треугольника равна \(x\) см.

Также у нас есть окружность, описанная вокруг этого треугольника, радиус которой составляет \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) от третьей стороны. Значит, радиус окружности равен \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) см.

Мы знаем, что радиус окружности соотносится с сторонами треугольника следующим образом: радиус окружности равен произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника. В данной задаче у нас описанная окружность, поэтому мы должны использовать полупериметр треугольника.

Полупериметр \(s\) треугольника можно выразить через длины его сторон \(a\), \(b\), \(c\) следующим образом: \(s = \frac{a + b + c}{2}\).

В нашем случае, имея только две известные стороны \(a\) и \(b\), мы можем выразить полупериметр \(s\) следующим образом: \(s = \frac{3 + 3 + x}{2} = \frac{6 + x}{2} = 3 + \frac{x}{2}\).

Теперь, зная радиус окружности и полупериметр треугольника, мы можем записать соотношение: \(\frac{x}{\sqrt{3}} = R \cdot s\), где \(R\) - радиус описанной окружности, \(s\) - полупериметр треугольника.

Подставим выражение для полупериметра: \(\frac{x}{\sqrt{3}} = R \cdot (3 + \frac{x}{2})\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(\frac{x}{\sqrt{3}} = 3R + \frac{R \cdot x}{2}\).

Удалим знаменатель \(\sqrt{3}\), переместив его в другую часть уравнения: \(x = \frac{6R}{\sqrt{3}} - \frac{2R \cdot x}{2}\).

Приведем подобные слагаемые: \(x = \frac{6R - R \cdot x}{\sqrt{3}}\).

Перенесем члены с неизвестной в одну часть уравнения: \(x + R \cdot x = \frac{6R}{\sqrt{3}}\).

Факторизуем: \(x(1 + R) = \frac{6R}{\sqrt{3}}\).

Теперь найдем значение x, разделив обе части уравнения на \(1 + R\): \(x = \frac{6R}{(1 + R)\sqrt{3}}\).

Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив длины всех его сторон: \(P = 3 + 3 + x\).

Подставим значение \(x\): \(P = 3 + 3 + \frac{6R}{(1 + R)\sqrt{3}}\).

Упростим: \(P = 6 + \frac{6R}{(1 + R)\sqrt{3}}\).

Теперь, чтобы найти максимально возможное значение периметра, нам нужно найти максимальное значение \(P\). Для этого мы можем взять производную от \(P\) по \(R\) и найти его максимум.

Производная \(P\) примет вид: \(\frac{{dP}}{{dR}} = \frac{{6(1 + R)\sqrt{3} - 6R \cdot \frac{1}{{\sqrt{3}}}}}{{(1 + R)^2}}\).

Упростим числитель: \(\frac{{dP}}{{dR}} = \frac{{6\sqrt{3} + 6R\sqrt{3} - 6R}}{{(1 + R)^2}}\).

Зададим производной \(\frac{{dP}}{{dR}}\) равное нулю и решим полученное уравнение: \(\frac{{6\sqrt{3} + 6R\sqrt{3} - 6R}}{{(1 + R)^2}} = 0\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(6\sqrt{3} + 6R\sqrt{3} - 6R = 0\).

Перенесем все слагаемые с \(R\) в одну часть уравнения: \(6R\sqrt{3} - 6R = -6\sqrt{3}\).

Вынесем \(6R\) за скобки: \(6R(\sqrt{3} - 1) = -6\sqrt{3}\).

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3} - 1\): \(6R = \frac{{-6\sqrt{3}}}{{\sqrt{3} - 1}}\).

Сократим корни: \(6R = \frac{{-6\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)}}{{(\sqrt{3} - 1) \cdot (\sqrt{3} + 1)}}\).

Получим: \(6R = \frac{{-6\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)}}{{2}} = -3\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)\).

Раскроем скобки: \(6R = -3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 1 = -9 - 3\sqrt{3}\).

Разделим обе части уравнения на 6: \(R = -\frac{{9 + 3\sqrt{3}}}{{6}} = -\frac{{3 + \sqrt{3}}}{{2}}\).

Так как радиус не может быть отрицательным, мы примем положительное значение радиуса окружности: \(R = \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{2}}\).

Теперь мы можем вычислить максимально возможное значение периметра треугольника, подставив значение \(R\) в нашу формулу:

\(P = 6 + \frac{6 \cdot \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{2}}}{{(1 + \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{2}})\sqrt{3}}}\).

Упростим числитель: \(P = 6 + \frac{{\frac{{6 \cdot (3 + \sqrt{3})}}{{2}}}}{{(1 + \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{2}})\sqrt{3}}}\).

Сократим числитель и знаменатель на 2: \(P = 6 + \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{(2 + (3 + \sqrt{3}))\sqrt{3}}}\).

Упростим: \(P = 6 + \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{(5 + \sqrt{3})\sqrt{3}}}\).

Для окончательного ответа приблизим значение корня и округлим его до двух знаков после запятой: \(P \approx 6 + 0.621 \approx 6.621\).

Таким образом, максимально возможное значение периметра треугольника, описанного вокруг окружности радиусом, составляющим \(1/\sqrt{3}\) от третьей стороны, равно примерно 6.621 см.