Каков угол между векторами AB и CA в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC? Каково произведение векторов

Markiz

50

У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где стороны AB и AC являются равными. Нам нужно найти угол между векторами AB и CA, а также произведение этих векторов.

Для начала давайте рассмотрим угол между векторами AB и CA. Векторы AB и CA – это направленные отрезки, началом которых является точка A. Чтобы найти угол между векторами AB и CA, мы можем использовать скалярное произведение векторов.

Формула для вычисления скалярного произведения двух векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) в трехмерном пространстве имеет следующий вид:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)\]

где \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \) – длины векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), и \( \theta \) – угол между векторами.

Здесь нам нужно найти угол между вектором AB и вектором, обратным вектору CA (обратный вектор имеет противоположное направление, но ту же длину).

Так как треугольник ABC – прямоугольный, то длины векторов AB и AC равны. Обозначим эту длину как \(l\).

Итак, имеем: \( |\vec{AB}| = |\vec{AC}| = l \).

Теперь рассмотрим обратный вектор CA. Обратный вектор CA будет иметь противоположное направление, но ту же длину l. Обозначим его как \(-\vec{CA}\).

Тогда выражение для скалярного произведения векторов AB и CA будет выглядеть следующим образом:

\(\vec{AB} \cdot (-\vec{CA}) = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\theta_{AB-CA})\)

Подставим известные значения:

\(l^2 \cdot \cos(\theta_{AB-CA})\)

Так как \(\cos(\theta_{AB-CA}) = \cos(180 - \theta_{ACB}) = -\cos(\theta_{ACB})\) (из свойств косинуса), то имеем:

\(-l^2 \cdot \cos(\theta_{ACB})\)

Таким образом, мы нашли скалярное произведение векторов AB и CA. Конечный ответ:

Ответ: Скалярное произведение векторов AB и CA равно \(-l^2 \cdot \cos(\theta_{ACB})\).

По описанной выше формуле мы можем вычислить точное значение скалярного произведения в зависимости от значения угла \(\theta_{ACB}\).

Отметим также, что произведение векторов AB в данном треугольнике будет ноль, так как один из векторов равен нулю (направлен от точки A к ней самой).