Каково максимальное значение функции y=x^2+729/x на интервале [−38;−3]?

Shura_3089

44

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Мы должны найти максимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{729}{x}\) на интервале от -38 до -3.

1. Для начала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
y" = \frac{d}{dx}(x^2 + \frac{729}{x})
\]

Используя правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования для частного функций, получим:

\[
y" = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\frac{729}{x}) = 2x - \frac{729}{x^2}
\]

2. Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения критических точек функции \(y\):

\[
2x - \frac{729}{x^2} = 0
\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2\) и перенесем все члены в одну сторону:

\[
2x^3 - 729 = 0
\]

3. Данное уравнение можно признать кубическим уравнением, и его можно решить с использованием различных методов (например, метода подстановки или метода Ньютона). Однако, в данном случае можно заметить, что числовое значение 9 является корнем данного уравнения:

\[
2 \cdot 9^3 - 729 = 0
\]

Таким образом, мы имеем критическую точку при \(x = 9\).

4. Теперь проверим, что этот корень является максимумом функции. Для этого проанализируем знаки производной в окрестностях критической точки.

- Подставим значения \(x < 9\) в производную \(y"\). Например, \(x = 8\):
\[y"(8) = 2 \cdot 8 - \frac{729}{8^2} = 16 - \frac{729}{64} \approx -3.23 < 0\]

- Подставим значения \(x > 9\) в производную \(y"\). Например, \(x = 10\):
\[y"(10) = 2 \cdot 10 - \frac{729}{10^2} = 20 - \frac{729}{100} \approx 11.71 > 0\]

Мы видим, что перед точкой \(x = 9\) производная отрицательная, а после точки \(x = 9\) производная положительная. Это значит, что функция \(y\) имеет локальный минимум в точке \(x = 9\).

5. Поскольку интервал, на котором ищется максимальное значение функции, находится в левой части от критической точки \(x = 9\), мы должны проверить значения функции \(y\) на границах данного интервала.

- Подставим значение \(x = -38\) в исходную функцию \(y\):
\[y(-38) = (-38)^2 + \frac{729}{-38} = 1444 - 19.18 \approx 1424.82\]

- Подставим значение \(x = -3\) в исходную функцию \(y\):
\[y(-3) = (-3)^2 + \frac{729}{-3} = 9 - 243 = -234\]

Данные значения позволяют нам сделать вывод, что максимальное значение функции \(y\) на интервале от -38 до -3 равно 1424.82. Вычислив значение функции в критической точке \(x = 9\), мы обнаружили локальный минимум, а не максимум, который мы искали.

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам в понимании решения этой задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!