Каково максимальное значение функции y=x^2+729/x на интервале [−38;−3]?

  • 1
Каково максимальное значение функции y=x^2+729/x на интервале [−38;−3]?
Shura_3089
44
Хорошо, рассмотрим данную задачу. Мы должны найти максимальное значение функции y=x2+729x на интервале от -38 до -3.

1. Для начала найдем производную функции y по переменной x:

y"=ddx(x2+729x)

Используя правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования для частного функций, получим:

y"=ddx(x2)+ddx(729x)=2x729x2

2. Решим уравнение y"=0 для нахождения критических точек функции y:

2x729x2=0

Умножим обе части уравнения на x2 и перенесем все члены в одну сторону:

2x3729=0

3. Данное уравнение можно признать кубическим уравнением, и его можно решить с использованием различных методов (например, метода подстановки или метода Ньютона). Однако, в данном случае можно заметить, что числовое значение 9 является корнем данного уравнения:

293729=0

Таким образом, мы имеем критическую точку при x=9.

4. Теперь проверим, что этот корень является максимумом функции. Для этого проанализируем знаки производной в окрестностях критической точки.

- Подставим значения x<9 в производную y". Например, x=8:
y"(8)=2872982=16729643.23<0

- Подставим значения x>9 в производную y". Например, x=10:
y"(10)=210729102=2072910011.71>0

Мы видим, что перед точкой x=9 производная отрицательная, а после точки x=9 производная положительная. Это значит, что функция y имеет локальный минимум в точке x=9.

5. Поскольку интервал, на котором ищется максимальное значение функции, находится в левой части от критической точки x=9, мы должны проверить значения функции y на границах данного интервала.

- Подставим значение x=38 в исходную функцию y:
y(38)=(38)2+72938=144419.181424.82

- Подставим значение x=3 в исходную функцию y:
y(3)=(3)2+7293=9243=234

Данные значения позволяют нам сделать вывод, что максимальное значение функции y на интервале от -38 до -3 равно 1424.82. Вычислив значение функции в критической точке x=9, мы обнаружили локальный минимум, а не максимум, который мы искали.

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам в понимании решения этой задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!