Каково наименьшее значение функции y=-14x+7tgx+7п/2+11 на интервале от -п/3 до п/3?

Чайник

48

Для начала, давайте разобьем эту задачу на несколько этапов, чтобы ответ был понятен и обстоятельным.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x, чтобы определить экстремумы функции.

Функцию y представим в виде:
\[y = -14x + 7\tan(x) + \frac{7\pi}{2} + 11\]

Будем использовать правило дифференцирования суммы и константы, а также правило дифференцирования тангенса.

Производная функции y по x будет выглядеть следующим образом:
\[y" = -14 + 7\sec^2(x)\]

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю или не определена.

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[-14 + 7\sec^2(x) = 0\]

Решая это уравнение, получаем:
\[\sec^2(x) = 2\]

Так как \(\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\), то получаем:
\[\frac{1}{\cos^2(x)} = 2\]
\[\cos^2(x) = \frac{1}{2}\]
\[\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Затем находим значения x, для которых косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), в интервале от \(-\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{3}\).

Находим два таких значения:
\(x_1 = \frac{\pi}{4}\) и \(x_2 = -\frac{\pi}{4}\).

Шаг 3: Определяем, является ли каждая из найденных точек экстремумом функции.

Для этого вычислим вторую производную функции y по x, чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом.

Вторая производная функции y по x будет равна:
\[y"" = 14\sin(x)\]

Подставим значения x_1 и x_2 во вторую производную:

\[y""(x_1) = 14\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} > 0\]

\[y""(x_2) = 14\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 14 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -7\sqrt{2} < 0\]

Так как y""(x_1) > 0, то точка x_1 является точкой минимума, а так как y""(x_2) < 0, то точка x_2 является точкой максимума.

Шаг 4: Вычисляем значения функции y в найденных точках.

Подставим значения x_1 и x_2 в исходную функцию y:

\[y(x_1) = -14\left(\frac{\pi}{4}\right) + 7\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11\]
\[y(x_2) = -14\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 7\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11\]

Вычислим значения:

\[y(x_1) = -14\left(\frac{\pi}{4}\right) + 7 + \frac{7\pi}{2} + 11 = -\frac{7\pi}{2} + 18\]
\[y(x_2) = 14\left(\frac{\pi}{4}\right) - 7 + \frac{7\pi}{2} + 11 = \frac{7\pi}{2} + 18\]

Шаг 5: Найдем наименьшее значение функции на заданном интервале.

Из полученных значений функции y(x_1) и y(x_2) мы видим, что наименьшее значение будет равно -\(\frac{7\pi}{2} + 18\).

Таким образом, наименьшее значение функции y на интервале от -\(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{3}\) равно -\(\frac{7\pi}{2} + 18\).

Подведем итоги: Наименьшее значение функции y = -14x + 7tgx + \(\frac{7\pi}{2}\) + 11 на интервале от -\(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{3}\) равно -\(\frac{7\pi}{2} + 18\).