Каково нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r, заданное функцией an=bt^3? Необходимо найти

Marusya

36

Чтобы вычислить нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом \( r \), заданной функцией \( a_n = bt^3 \), нам понадобится использовать формулу для нормального ускорения. Нормальное ускорение \( a_n \) является проекцией полного ускорения на вектор, направленный к центру окружности. В данном случае, полное ускорение \( a_t \) является производной углового ускорения \( \alpha \), умноженной на радиус окружности.

Давайте начнем с вычисления полного ускорения \( a_t \). Для этого нам понадобится первоначальная формула для ускорения:

\[ a_t = \frac{{v^2}}{{r}} \]

где \( v \) - скорость точки, движущейся по окружности.

Для нахождения средней скорости \( v \) за два первых оборота мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины окружности:

\[ C = 2\pi r \]

Средняя скорость \( \overline{v} \) выражается следующим образом:

\[ \overline{v} = \frac{{S}}{{t}} \]

где \( S \) - расстояние, пройденное точкой, а \( t \) - время, за которое происходит движение.

Для двух оборотов временной интервал \( t \) будет равен времени \( T \), за которое точка проходит два оборота. В таком случае, время \( t \) равно \( 2T \).

Считая, что точка движется с постоянным нормальным ускорением, мы можем выразить скорость как функцию времени.

Исходя из заданной формулы для нормального ускорения \( a_n = bt^3 \), мы можем интегрировать ее, чтобы получить выражение для скорости точки.

\[ a_n = \frac{{dv}}{{dt}} \]

\[ bt^3 = \frac{{dv}}{{dt}} \]

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

\[ \int bt^3 \, dt = \int dv \]

\[ \frac{{b}}{4}t^4 + C_1 = v \]

где \( C_1 \) - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем найти значение постоянной \( C_1 \) в точке \( t = 0 \), зная, что скорость точки в начальный момент времени равна 0. Подставив \( t = 0 \) и \( v = 0 \) в уравнение, найдем значение постоянной:

\[ 0 = \frac{{b}}{4}(0)^4 + C_1 \]

\[ C_1 = 0 \]

Таким образом, получаем выражение для скорости точки:

\[ v = \frac{{b}}{4}t^4 \]

Теперь можем перейти к нахождению полного ускорения \( a_t \).

\[ a_t = \frac{{v^2}}{{r}} \]

Подставляем выражение для скорости:

\[ a_t = \frac{{(\frac{{b}}{{4}}t^4)^2}}{{r}} \]

\[ a_t = \frac{{b^2t^8}}{{16r}} \]

Известно, что нормальное ускорение \( a_n \) является проекцией полного ускорения \( a_t \) на вектор, направленный к центру окружности, и он равен:

\[ a_n = \frac{{d^2r}}{{dt^2}} \]

Мы также можем выразить ускорение центростремительное как произведение квадрата угловой скорости \( \omega \) на радиус окружности:

\[ a_c = \omega^2r \]

Таким образом, сумма нормального и центростремительного ускорения равна полному ускорению \( a_t \):

\[ a_t = a_n + a_c \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{{b^2t^8}}{{16r}} = \frac{{d^2r}}{{dt^2}} + \omega^2r \]

Мы знаем, что угловая скорость \( \omega \) равняется \( \frac{{d\theta}}{{dt}} \), где \( \theta \) - угол, пройденный точкой на окружности.

Поскольку мы ищем среднюю скорость за два первых оборота, угол \( \theta \) будет равным \( 4\pi \) (2 оборота), и \( \frac{{d\theta}}{{dt}} \) будет равно \( \frac{{4\pi}}{{T}} \), где \( T \) - время, за которое точка проходит два оборота.

Теперь мы можем заменить \( \omega \) и \( \frac{{d\theta}}{{dt}} \) в уравнении:

\[ \frac{{b^2t^8}}{{16r}} = \frac{{d^2r}}{{dt^2}} + \left(\frac{{4\pi}}{{T}}\right)^2r \]

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение второго порядка с начальными условиями \( t = 0 \) и \( r = 0 \).

Я надеюсь, эта подробная пошаговая инструкция помогла вам понять, как найти нормальное ускорение точки, движущейся по окружности заданной функцией \( a_n = bt^3 \), и среднюю скорость за два первых оборота. Если у вас остались какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать!