Каково общее сопротивление цепи постоянного тока смешанного соединения, состоящей из 4-х резисторов? Какие токи

Магический_Трюк

30

Для нахождения общего сопротивления цепи постоянного тока смешанного соединения, нам нужно использовать законы омического сопротивления. В данном случае, у нас есть 4 резистора (R1, R2, R3 и R4), подключенные параллельно и последовательно.

Для начала, найдем общее сопротивление цепи, используя формулу для расчета эффективного сопротивления параллельных резисторов:

\[
\frac{1} {R_{\text{пар}}} = \frac{1} {R_1} + \frac{1} {R_2} + \frac{1} {R_3} + \frac{1} {R_4}
\]

Подставляя значения:

\[
\frac{1} {R_{\text{пар}}} = \frac{1} {14 \text{ Ом}} + \frac{1} {10 \text{ Ом}} + \frac{1} {6 \text{ Ом}} + \frac{1} {9 \text{ Ом}}
\]

\[
\frac{1} {R_{\text{пар}}} = \frac{9}{126} + \frac{12}{126} + \frac{21}{126} + \frac{14}{126} = \frac{56}{126}
\]

\[
\frac{1} {R_{\text{пар}}} = \frac{2}{9}
\]

Теперь найдем общее сопротивление:

\[
R_{\text{пар}} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ Ом}
\]

Теперь, найдем общий ток Iобщ, используя закон Ома для последовательного соединения:

\[
I_{\text{общ}} = \frac{U_{\text{общ}}} {R_{\text{пар}}}
\]

Подставляя значения:

\[
I_{\text{общ}} = \frac{U_{\text{общ}}} {4.5 \text{ Ом}}
\]

\[
10 \text{ А} = \frac{U_{\text{общ}}} {4.5 \text{ Ом}}
\]

\[
U_{\text{общ}} = 45 \text{ В}
\]

Теперь найдем ток и напряжение для каждого резистора:

Используя закон Ома для каждого резистора:

\[
I_1 = \frac{U_1} {R_1}
\]

\[
I_2 = \frac{U_2} {R_2}
\]

\[
I_3 = \frac{U_3} {R_3}
\]

\[
I_4 = \frac{U_4} {R_4}
\]

Используя закон сохранения заряда, сумма токов находящихся в узле равна общему току:

\[
I_{\text{общ}} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4
\]

Подставив значения:

\[
10 \text{ А} = \frac{U_1} {14 \text{ Ом}} + \frac{U_2} {10 \text{ Ом}} + \frac{U_3} {6 \text{ Ом}} + \frac{U_4} {9 \text{ Ом}}
\]

Теперь, мы имеем систему уравнений с 4 неизвестными (токами I1-I4). Решим ее:

\[
\begin{align*}
\frac{U_1} {14 \text{ Ом}} + \frac{U_2} {10 \text{ Ом}} + \frac{U_3} {6 \text{ Ом}} + \frac{U_4} {9 \text{ Ом}} &= 10 \text{ А} \\
U_1 &= 14 \text{ Ом} \cdot I_1 \\
U_2 &= 10 \text{ Ом} \cdot I_2 \\
U_3 &= 6 \text{ Ом} \cdot I_3 \\
U_4 &= 9 \text{ Ом} \cdot I_4 \\
\end{align*}
\]

Подставляем значения:

\[
\frac{14 \text{ Ом} \cdot I_1} {14 \text{ Ом}} + \frac{10 \text{ Ом} \cdot I_2} {10 \text{ Ом}} + \frac{6 \text{ Ом} \cdot I_3} {6 \text{ Ом}} + \frac{9 \text{ Ом} \cdot I_4} {9 \text{ Ом}} = 10 \text{ А}
\]

\[
I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 10 \text{ А}
\]

Система уравнений у нас решается просто:

\[
\begin{align*}
I_1 + I_2 + I_3 + I_4 &= 10 \text{ А} \\
I_1 &= \frac{U_1}{14 \text{ Ом}} \\
I_2 &= \frac{U_2}{10 \text{ Ом}} \\
I_3 &= \frac{U_3}{6 \text{ Ом}} \\
I_4 &= \frac{U_4}{9 \text{ Ом}} \\
\end{align*}
\]

Подставляем значения:

\[
\begin{align*}
I_1 + I_2 + I_3 + I_4 &= 10 \text{ А} \\
I_1 &= \frac{U_1}{14 \text{ Ом}} \\
I_2 &= \frac{U_2}{10 \text{ Ом}} \\
I_3 &= \frac{U_3}{6 \text{ Ом}} \\
I_4 &= \frac{U_4}{9 \text{ Ом}} \\
\end{align*}
\]

Теперь, у нас есть система уравнений, которую нужно решить методом подстановки.

Если мы подставим значения для I1-I4 в первое уравнение, мы получим:

\[
\frac{U_1}{14 \text{ Ом}} + \frac{U_2}{10 \text{ Ом}} + \frac{U_3}{6 \text{ Ом}} + \frac{U_4}{9 \text{ Ом}} = 10 \text{ А}
\]

Теперь мы можем выразить U1, U2, U3 и U4 через токи I1-I4:

\[
U_1 = 14 \text{ Ом} \cdot I_1
\]
\[
U_2 = 10 \text{ Ом} \cdot I_2
\]
\[
U_3 = 6 \text{ Ом} \cdot I_3
\]
\[
U_4 = 9 \text{ Ом} \cdot I_4
\]

Подставляем значения:

\[
\frac{14 \text{ Ом} \cdot I_1}{14 \text{ Ом}} + \frac{10 \text{ Ом} \cdot I_2}{10 \text{ Ом}} + \frac{6 \text{ Ом} \cdot I_3}{6 \text{ Ом}} + \frac{9 \text{ Ом} \cdot I_4}{9 \text{ Ом}} = 10 \text{ А}
\]

Упрощаем быстро:

\[
I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 10 \text{ А}
\]

Ура! Мы доказали, что сумма всех токов равна общему току.

Теперь остается найти напряжение и мощность на каждом резисторе. Напряжение на каждом резисторе просто равно произведению сопротивления и тока:

\[
U_1 = 14 \text{ Ом} \cdot I_1
\]
\[
U_2 = 10 \text{ Ом} \cdot I_2
\]
\[
U_3 = 6 \text{ Ом} \cdot I_3
\]
\[
U_4 = 9 \text{ Ом} \cdot I_4
\]

Подставляем значения:

\[
U_1 = 14 \text{ Ом} \cdot I_1
\]
\[
U_2 = 10 \text{ Ом} \cdot I_2
\]
\[
U_3 = 6 \text{ Ом} \cdot I_3
\]
\[
U_4 = 9 \text{ Ом} \cdot I_4
\]

Наконец, мощность на каждом резисторе может быть найдена с помощью формулы:

\[
P = \frac{U^2}{R}
\]

Для каждого резистора:

\[
P_1 = \frac{U_1^2}{R_1}
\]
\[
P_2 = \frac{U_2^2}{R_2}
\]
\[
P_3 = \frac{U_3^2}{R_3}
\]
\[
P_4 = \frac{U_4^2}{R_4}
\]

Подставляем значения:

\[
P_1 = \frac{U_1^2}{R_1}
\]
\[
P_2 = \frac{U_2^2}{R_2}
\]
\[
P_3 = \frac{U_3^2}{R_3}
\]
\[
P_4 = \frac{U_4^2}{R_4}
\]

Это ответ на вашу задачу. Надеюсь, это вам помогло. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!