Каково основание системы счисления, в которой число 68 записывается с окончанием на 2 и содержит 4 цифры?

Золотой_Вихрь

16

Основание системы счисления определяет количество различных цифр, которые можно использовать для записи чисел, а также их значение.

Дано, что число 68 записывается с окончанием на 2 в данной системе и содержит 4 цифры. Значит, мы располагаем четырьмя различными цифрами и одна из них является 2.

Обозначим основание системы счисления за \(n\). Так как число 68 содержит 4 цифры, мы можем записать его как:
\[6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n + 2,\]
где \(x\) - одна из цифр в данной системе счисления.

Из условия дано, что число 68 записывается с окончанием на 2. Это означает, что последняя цифра в нашем числе равна 2. Подставим это значение и получим:
\[6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n + 2 = (6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n) + 2.\]

Так как основание системы счисления \(n\) является целым числом и мы имеем дело только с цифрами, то выражение \(6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n\) также должно быть целым числом. Следовательно, выражение \((6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n) + 2\) должно быть делителем основания системы счисления \(n\).

Теперь вспомним, что \(x\) является одной из цифр в нашей системе счисления. Если мы знаем, что \(x\) цифра, то это означает, что \(x\) принимает значение от 0 до \(n - 1\) включительно.

Исходя из этого, мы можем предложить ряд значений для \(n\), вычислив выражение \((6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n) + 2\) для \(x = 0, 1, 2, ..., n - 1\), и проверить, делится ли оно на \(n\).

Для ускорения процесса, поскольку нам известно, что \((6 \cdot n^3 + 8 \cdot n^2 + x \cdot n) + 2\) должно быть делителем \(n\), мы можем изначально ограничить значения \(n\) только положительными делителями числа 2.

Некоторые возможные значения \(n\) и соответствующие значения \(x\) в нашей системе счисления:

\(n = 2\):
\(x = (6 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2^2) + 2 = 72 + 32 + 2 = 106 \quad \text{(не делится на 2)}\).

\(n = 4\):
\(x = (6 \cdot 4^3 + 8 \cdot 4^2) + 2 = 768 + 256 + 2 = 1026 \quad \text{(не делится на 4)}\).

\(n = 8\):
\(x = (6 \cdot 8^3 + 8 \cdot 8^2) + 2 = 3072 + 512 + 2 = 3586 \quad \text{(не делится на 8)}\).

\(n = 16\):
\(x = (6 \cdot 16^3 + 8 \cdot 16^2) + 2 = 6144 + 2048 + 2 = 8194 \quad \text{(не делится на 16)}\).

\(n = 32\):
\(x = (6 \cdot 32^3 + 8 \cdot 32^2) + 2 = 18432 + 8192 + 2 = 26626 \quad \text{(не делится на 32)}\).

\(n = 64\):
\(x = (6 \cdot 64^3 + 8 \cdot 64^2) + 2 = 49152 + 32768 + 2 = 81922 \quad \text{(делится на 64)}\).

Таким образом, основание нашей системы счисления равно 64, а число 68 записывается с окончанием на 2 и содержит 4 цифры в данной системе счисления.