Каково отношение BD:DC в треугольнике ABC, если AD делит сторону BC на отрезки BD и DC в соотношении 1:3? Каково

Snezhka

61

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая.

Первым шагом докажем, что точка O, в которой медиана BM пересекает биссектрису AD, делит сторону BC также в отношении 1:3. Для этого применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой BO.

По теореме Менелая получаем:

\[\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1\]

В условии дано, что \(\frac{AD}{DB} = 1:3\), поэтому \(\frac{DB}{AD} = 3:1\).

Делая замену в формуле, получаем:

\[(3:1) \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1\]

Умножаем числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[(9:3) \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1\]

Так как искомое отношение BD:DC, возьмем обратное отношение полученной дроби:

\[\frac{OC}{BO} : \frac{MA}{CM} = 3:9 = 1:3\]

Итак, отношение BD:DC равно 1:3, как и отношение OC:BO.

Теперь рассмотрим отношение AO:OD. Обратимся снова к теореме Менелая, но уже применим ее к треугольнику ABD и прямой AO:

\[\frac{OD}{DA} \cdot \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BO}{OD} = 1\]

По условию, \(\frac{OD}{DA} = 1:3\), поэтому \(\frac{DA}{OD} = 3:1\).

Заменяем в формуле и упрощаем:

\[\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BO}{OD} = 3:3 = 1:1\]

Таким образом, отношение AO:OD равно 1:1.

Итак, ответ на задачу:

Отношение BD:DC в треугольнике ABC равно 1:3.

Отношение BO:OM также равно 1:3.

Отношение AO:OD равно 1:1.