Каково отношение изменения функции (∆f) к изменению аргумента (∆x) при перемещении от точки с координатой x до точки

Zolotaya_Pyl

36

что функция является непрерывной и дифференцируемой?

Отношение изменения функции \( \Delta f \) к изменению аргумента \( \Delta x \) выражается величиной, называемой производной функции. При условии, что функция является непрерывной и дифференцируемой, производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента по мере стремления приращения аргумента к нулю. Математически это записывается следующим образом:

\[ f"(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} \]

Где \( f"(x) \) представляет собой производную функции \( f \) по аргументу \( x \).

При наличии функции и значений \( x \) и \( x + \Delta x \), мы можем найти изменение функции \( \Delta f \) путем умножения приращения аргумента \( \Delta x \) на производную функции \( f"(x) \):

\[ \Delta f = f"(x) \cdot \Delta x \]

Таким образом, отношение изменения функции \( \Delta f \) к изменению аргумента \( \Delta x \) равно производной функции \( f \) в точке \( x \).

Пошаговое решение:

1. Найдите производную функции \( f \) по аргументу \( x \) с помощью правил дифференцирования.

2. Подставьте значение \( x \) в найденную производную, чтобы получить значение производной \( f"(x) \).

3. Умножьте значение производной \( f"(x) \) на \( \Delta x \) для получения значения изменения функции \( \Delta f \).

Например, рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 \). Мы хотим найти отношение изменения функции \( \Delta f \) к изменению аргумента \( \Delta x \) при перемещении от точки с координатой \( x \) до точки с координатой \( x + \Delta x \).

1. Найдем производную функции \( f"(x) \):
\[ f"(x) = 2x \]

2. Подставим значение \( x \) в производную:
\[ f"(x) = 2 \cdot x = 2x \]

3. Умножим значение производной на \( \Delta x \):
\[ \Delta f = f"(x) \cdot \Delta x = 2x \cdot \Delta x \]

Таким образом, отношение изменения функции \( \Delta f \) к изменению аргумента \( \Delta x \) равно \( 2x \cdot \Delta x \).