Каково отношение квадратов больших полуосей орбит двух планет, если известно, что период обращения одной планеты

Polosatik

58

Когда мы говорим о движении планет вокруг Солнца, мы можем использовать закон Кеплера, чтобы понять, как взаимодействуют период обращения планет вокруг Солнца и их полуоси.

Первый закон Кеплера (закон эллиптических орбит) гласит, что орбиты планет являются эллипсами, где Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Это означает, что орбита каждой планеты имеет две полуоси: большую (a) и малую (b).

Второй закон Кеплера (закон равных площадей) гласит, что радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, сканирует одинаковые площади за одинаковые промежутки времени. Это означает, что планеты движутся быстрее ближе к Солнцу и медленнее дальше от него.

Третий закон Кеплера (закон периодов) устанавливает, что квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их полуосей. Это означает, что можно использовать следующую формулу для нахождения отношения квадратов больших полуосей (a₁ и a₂) двух планет:

\[\frac{{T₁²}}{{T₂²}} = \frac{{a₁³}}{{a₂³}}\]

Здесь T₁ и T₂ - периоды обращения планет, а a₁ и a₂ - их большие полуоси.

Так как известно, что период обращения одной планеты превышает период обращения другой, мы можем установить соответствующий знак отношения. Допустим, что период обращения первой планеты (T₁) больше периода обращения второй планеты (T₂), тогда отношение будет следующим:

\[\frac{{T₁²}}{{T₂²}} = \frac{{a₁³}}{{a₂³}}\]

Для примера, допустим, период обращения первой планеты (T₁) равен, например, 3 года, а период обращения второй планеты (T₂) равен 2 годам, тогда мы можем записать уравнение отношения полуосей следующим образом:

\[\frac{{3²}}{{2²}} = \frac{{a₁³}}{{a₂³}}\]

Простое вычисление дает нам:

\[\frac{9}{4} = \frac{{a₁³}}{{a₂³}}\]

Мы можем представить отношение квадратов больших полуосей (a₁ и a₂) как:

\[\frac{{a₁³}}{{a₂³}} = \frac{9}{4}\]

Или, перенося значения в корни:

\[\sqrt[3]{{\frac{{a₁³}}{{a₂³}}}} = \sqrt[3]{\frac{9}{4}}\]

Таким образом, отношение квадратов больших полуосей орбит двух планет (a₁ и a₂), если период обращения первой планеты (T₁) превышает период обращения второй планеты (T₂), будет равным \(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\).