Каково отношение модулей скоростей третьего и первого осколков, полученных при произвольном делении покоившегося ядра
Каково отношение модулей скоростей третьего и первого осколков, полученных при произвольном делении покоившегося ядра химического элемента, массы которых составляют 3m, 4,5m и 5m, причём скорости первых двух осколков, взаимно перпендикулярны, и их модули равны 4v и 2v соответственно?
Zvezdopad_Na_Gorizonte 24
Для решения этой задачи нам потребуется использовать законы сохранения импульса и энергии.Первым делом, рассмотрим закон сохранения импульса. Пусть \(v_1\) и \(v_3\) - модули скоростей первого и третьего осколков соответственно. Так как скорости первых двух осколков взаимно перпендикулярны, то их импульсы векторно складываются, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения модуля скорости третьего осколка:
\[v_3 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]
Закон сохранения энергии позволяет нам сопоставить кинетическую энергию до деления ядра с кинетической энергией после деления ядра. Поскольку ядро покоится, его полная кинетическая энергия до деления равна нулю.
После деления ядра появляются три осколка. Пусть \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\) - массы первого, второго и третьего осколков соответственно. Тогда кинетическая энергия после деления будет равна сумме кинетических энергий каждого из осколков:
\[0 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \frac{1}{2}m_3v_3^2\]
Массы осколков связаны условием задачи: \(m_3 = 5m\), \(m_2 = 4.5m\) и \(m_1 = 3m\).
Теперь мы можем использовать полученные уравнения для нахождения отношения модулей скоростей третьего и первого осколков.
1. Используем закон сохранения импульса:
\[v_3 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]
2. Используем закон сохранения энергии:
\[0 = \frac{1}{2}(3m)v_1^2 + \frac{1}{2}(4.5m)v_2^2 + \frac{1}{2}(5m)v_3^2\]
Теперь решим систему уравнений и найдем значение \(v_3 / v_1\).
Решение системы уравнений может занять некоторое время. Вы можете воспользоваться математическим программным обеспечением или калькулятором для решения уравнений.
Подставим \(v_3\) из первого уравнения во второе уравнение и решим его:
\[0 = \frac{1}{2}(3m)v_1^2 + \frac{1}{2}(4.5m)v_2^2 + \frac{1}{2}(5m)(v_1^2 + v_2^2)\]
\[0 = \frac{3}{2}m v_1^2 + \frac{9}{2}m v_2^2 + \frac{5}{2}m(v_1^2 + v_2^2)\]
\[0 = \frac{8}{2}m v_1^2 + \frac{14}{2}m v_2^2\]
\[0 = 4m v_1^2 + 7m v_2^2\]
\[\frac{7}{4}\frac{v_2^2}{v_1^2} = -1\]
\[\frac{v_2^2}{v_1^2} = -\frac{4}{7}\]
\[\frac{v_2}{v_1} = \pm\sqrt{-\frac{4}{7}}\]
Так как отношение модулей скоростей не может быть отрицательным, отбрасываем отрицательное решение, и получаем:
\[\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{-\frac{4}{7}}\]
Таким образом, отношение модулей скоростей третьего и первого осколков равно \(\sqrt{-\frac{4}{7}}\) или приближенно -0.7559.