Каково отношение моментов инерции J1 и J2 для диска и стержня относительно указанных осей на рисунке? Масса диска вдвое

Magicheskiy_Tryuk

60

Для начала, нам необходимо определить формулы для моментов инерции \(J\) диска и стержня относительно указанных осей.

Момент инерции \(J\) диска можно найти с использованием следующей формулы:

\[J_{\text{диск}} = \frac{1}{4} m_{\text{диск}} r_{\text{диск}}^2\]

где \(m_{\text{диск}}\) - масса диска, \(r_{\text{диск}}\) - радиус диска.

Момент инерции \(J\) стержня можно найти с использованием следующей формулы:

\[J_{\text{стержень}} = \frac{1}{3} m_{\text{стержень}} l_{\text{стержень}}^2\]

где \(m_{\text{стержень}}\) - масса стержня, \(l_{\text{стержень}}\) - длина стержня.

Исходя из условия задачи, масса диска \(m_{\text{диск}}\) вдвое больше массы стержня \(m_{\text{стержень}}\), а диаметр диска в два раза меньше длины стержня \(l_{\text{стержень}}\).

Поскольку диаметр диска в два раза меньше его радиуса, то радиус \(r_{\text{диск}}\) можно выразить через диаметр \(d_{\text{диск}}\) следующим образом: \(r_{\text{диск}} = \frac{d_{\text{диск}}}{2}\).

Теперь мы можем сформулировать соотношение между моментами инерции диска и стержня:

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{\frac{1}{4} m_{\text{диск}} r_{\text{диск}}^2}{\frac{1}{3} m_{\text{стержень}} l_{\text{стержень}}^2}\]

Подставим значения для массы диска и стержня, а также связь между радиусом диска и длиной стержня, полученную из условия задачи:

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{\frac{1}{4} (2m_{\text{стержень}}) \left(\frac{d_{\text{диск}}}{2}\right)^2}{\frac{1}{3} m_{\text{стержень}} \left(2l_{\text{стержень}}\right)^2}\]

Упростим выражение:

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{\frac{1}{4} (2m_{\text{стержень}}) \frac{d_{\text{диск}}^2}{4}}{\frac{1}{3} m_{\text{стержень}} 4l_{\text{стержень}}^2}\]

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} d_{\text{диск}}^2}{\frac{1}{3} \cdot 4 l_{\text{стержень}}^2}\]

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{1}{8} \frac{d_{\text{диск}}^2}{l_{\text{стержень}}^2}\]

Таким образом, мы получили отношение моментов инерции \(J_{\text{диск}}\) и \(J_{\text{стержень}}\) в зависимости от отношения диаметра диска \(d_{\text{диск}}\) и квадрата длины стержня \(l_{\text{стержень}}\):

\[\frac{J_{\text{диск}}}{J_{\text{стержень}}} = \frac{1}{8} \frac{d_{\text{диск}}^2}{l_{\text{стержень}}^2}\]

Таким образом, отношение моментов инерции зависит от отношения квадрата диаметра диска к квадрату длины стержня, но конкретное числовое значение этого отношения мы можем определить только при известных значениях диаметра диска \(d_{\text{диск}}\) и длины стержня \(l_{\text{стержень}}\).