Каково отношение объема шара к объему конуса, если внутри конуса вписан правильный треугольник со стороной

Чудесный_Король

43

Для решения данной задачи найдем отношение объема шара к объему конуса, в котором вписан правильный треугольник со стороной \(a\).

Шар можно рассматривать как конус с бесконечным углом между вершиной и основанием, поэтому будем сравнивать объемы этих фигур.

Плоскость, в которой лежит вписанный треугольник, пересекает шар и конус, и при этом создает окружность на основании конуса. Радиус окружности \(R\) будет равен половине стороны \(a\).

Объем шара можно выразить формулой:

\[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi R^3
\]

Объем конуса можно выразить формулой:

\[
V_{\text{конус}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h
\]

Где \(h\) - высота конуса.

Так как сторона вписанного треугольника равна \(a\), а радиус окружности \(R\) равен \(\frac{a}{2}\), то для нахождения высоты конуса воспользуемся теоремой Пифагора:

\[
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a
\]

Подставим полученное значение \(h\) в формулу объема конуса:

\[
V_{\text{конус}} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\pi}{6}\sqrt{3}a^3
\]

Теперь можем выразить отношение объема шара к объему конуса:

\[
\frac{V_{\text{шар}}}{V_{\text{конус}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{\pi}{6}\sqrt{3}a^3} = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}a^3}
\]

Подставим значение радиуса окружности \(R = \frac{a}{2}\):

\[
\frac{V_{\text{шар}}}{V_{\text{конус}}} = \frac{8\left(\frac{a}{2}\right)^3}{3\sqrt{3}a^3} = \frac{1}{6\sqrt{3}}
\]

Ответ: Отношение объема шара к объему конуса, в котором вписан правильный треугольник со стороной \(a\), равно \(\frac{1}{6\sqrt{3}}\).

Таким образом, мы получили максимально подробный ответ с пошаговым решением, чтобы он был понятен школьнику.