Яка висота конуса, якщо радіус його основи дорівнює 12 см, а кут вершини осередкового перетину становить -120°?

Solnyshko

42

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать геометрию и формулу для вычисления высоты конуса.

Итак, у нас есть конус с радиусом основания 12 см и углом вершинного пересечения -120°. Для начала, давайте разберемся с углом. Обычно углы между 0° и 180°, но в данном случае величина угла -120° находится за пределами этого диапазона. Чтобы привести его в допустимый диапазон, мы можем добавить 360° (или любое другое кратное этому числу) к углу, чтобы получить тот же угол:

Угол в пределах диапазона: -120° + 360° = 240°

Теперь мы можем использовать этот угол в формуле для вычисления высоты конуса. Формула для высоты конуса:

\[h = r \cdot \tan(\frac{\theta}{2})\]

где h - высота конуса, r - радиус основания конуса, \(\theta\) - угол вершинного пересечения в радианах.

Давайте вычислим высоту:

\(h = 12 \cdot \tan(\frac{240}{2})\)

Теперь нам нужно вычислить тангенс половины угла 240°.

Тангенс половины угла можно найти с помощью формулы:

\(\tan(\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}\)

В нашем случае, \(\theta = 240\):

\(\tan(\frac{240}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos 240}{1 + \cos 240}}\)

Теперь подставим значение тригонометрической функции и вычислим:

\(\tan(\frac{240}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos 240}{1 + \cos 240}} \approx 1.73205\)

Теперь, когда у нас есть значение тангенса половины угла, мы можем использовать исходную формулу:

\(h = 12 \cdot 1.73205\)

\(h \approx 20.7846\)

Таким образом, высота конуса составляет примерно 20.7846 см.