Каково отношение объемов конуса и цилиндра, если их полные поверхности равны? Приложите соответствующую иллюстрацию

Янтарка

15

Для начала, давайте обозначим некоторые величины, чтобы лучше понять эту задачу. Пусть \(V_к\) будет объемом конуса, \(V_ц\) - объемом цилиндра, \(S_к\) - полной поверхностью конуса, и \(S_ц\) - полной поверхностью цилиндра.

Из условия задачи у нас есть равенство \(S_к = S_ц\). Полная поверхность конуса состоит из основы и боковой поверхности. Основа конуса - это круг с радиусом \(r_к\), а боковая поверхность - это образующая конуса, умноженная на его длину \(l_к\). То есть, полная поверхность конуса можно выразить следующей формулой:

\[S_к = \pi \cdot r_к^2 + \pi \cdot r_к \cdot l_к\]

Аналогично, полная поверхность цилиндра также состоит из двух частей: двух основ цилиндра и его боковой поверхности. Площадь одной основы цилиндра равна \(\pi \cdot r_ц^2\), а боковая поверхность - это высота цилиндра \(h_ц\) умноженная на его окружность \(\pi \cdot d_ц\). Таким образом, полная поверхность цилиндра можно выразить следующей формулой:

\[S_ц = 2 \cdot \pi \cdot r_ц^2 + \pi \cdot d_ц \cdot h_ц\]

Теперь нам нужно использовать информацию о равенстве полных поверхностей, чтобы найти отношение объемов. Выражаем объем конуса через его основание и высоту:

\[V_к = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_к^2 \cdot h_к\]

Объем цилиндра можно выразить через его основание и высоту:

\[V_ц = \pi \cdot r_ц^2 \cdot h_ц\]

Теперь, чтобы найти отношение объемов конуса и цилиндра, мы можем разделить эти два выражения:

\[\frac{V_к}{V_ц} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_к^2 \cdot h_к}{\pi \cdot r_ц^2 \cdot h_ц}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{V_к}{V_ц} = \frac{r_к^2 \cdot h_к}{3 \cdot r_ц^2 \cdot h_ц}\]

Замечаем, что в этом выражении можно сократить множитель \(\pi\) и переменную \(h_к\):

\[\frac{V_к}{V_ц} = \frac{r_к^2}{3 \cdot r_ц^2} \cdot \frac{h_к}{h_ц}\]

Теперь мы можем заметить, что отношение радиусов и отношение высот конуса и цилиндра инвариантны относительно полной поверхности. Другими словами:

\(\frac{r_к}{r_ц} = \frac{h_к}{h_ц}\)

Таким образом, отношение объемов конуса и цилиндра равно отношению кубов радиусов. Нам не требуется знать точные значения радиусов или высот, поэтому мы можем сократить эту относительность до отношения квадратов радиусов:

\[\frac{V_к}{V_ц} = \frac{r_к^2}{3 \cdot r_ц^2} = \left(\frac{r_к}{r_ц}\right)^2\]

Теперь у нас есть ответ на задачу. Если полные поверхности конуса и цилиндра равны, то отношение их объемов будет равно квадрату отношения радиусов. Нам не даны конкретные значения радиусов, поэтому мы не можем установить точное соотношение объемов конуса и цилиндра. Варианты ответов даны в задаче:

а) 2 : 3
б) 1 : 3
в) 1

Обратите внимание, что мы можем увидеть, что отношение объемов конуса и цилиндра не равно 2 : 3 или 1 : 3, поскольку в общем случае эти отношения будут зависеть от соотношения радиусов. Таким образом, в данном случае правильный ответ будет "в) 1".