Каково отношение объемов шара и цилиндра, если высота цилиндра соответствует его диаметру, а радиус шара равен радиусу

Arsen

16

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим формулы для объема шара и цилиндра.

Объем шара задается следующей формулой:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3,\]
где \(V_{\text{шара}}\) - объем шара, а \(r\) - радиус шара.

Объем цилиндра задается формулой:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h,\]
где \(V_{\text{цилиндра}}\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Нам дано, что высота цилиндра соответствует его диаметру. Диаметр цилиндра - это двойной радиус цилиндра (\(d = 2r\)), следовательно, высота цилиндра равна его диаметру (\(h = d\)).

Также дано, что радиус шара равен радиусу цилиндра (\(r_{\text{шара}} = r_{\text{цилиндра}} = r\)).

Теперь, используя эти данные, мы можем найти отношение объемов шара и цилиндра.

Для начала заменим \(h\) в формуле объема цилиндра, используя диаметр цилиндра:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 (2r).\]
Выполнив упрощение, получаем:
\[V_{\text{цилиндра}} = 2\pi r^3.\]

Теперь, подставим радиус шара (\(r\)) в формулу объема шара:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

Итак, отношение объемов шара и цилиндра выглядит следующим образом:
\[\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}.\]

Таким образом, отношение объемов шара и цилиндра равно \(\frac{2}{3}\).

Обратите внимание, что высота цилиндра и его диаметр не влияют на отношение объемов, поскольку они сокращаются при использовании формул. Таким образом, данное отношение будет верным независимо от размеров цилиндра и шара, если радиус шара равен радиусу цилиндра.