Докажите, что на рисунке 7 выполняется равенство ABD=DCA, в случае: а) если угол 1 равен углу 2 и AC равно BD; б) если

Радуга_На_Земле_4968

9

Добро пожаловать! Для доказательства равенства \(\angle ABD = \angle DCA\) на рисунке 7, рассмотрим два случая:

а) Угол 1 равен углу 2 и \(AC\) равно \(BD\).
1. По условию, у нас дано, что \(\angle 1 = \angle 2\) и \(AC = BD\).
2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDA\).
3. У этих треугольников имеются две равные стороны: \(AB = CD\) (согласно условию) и \(AC = BD\) (дано).
4. Также, у этих треугольников углы \(\angle ABD\) и \(\angle DCA\) оба являются вертикальными углами и, следовательно, равны между собой (углы, образованные пересекающимися прямыми, которые лежат на противоположных сторонах пересекаемой прямой, равны).
5. Исходя из данных равенств и равенства сторон, по принципу равенства треугольников, мы можем сделать вывод, что \(\triangle ABD \cong \triangle CDA\) (треугольники равны по стороне-углу-стороне).
6. Значит, \(\angle ABD = \angle DCA\), что и требовалось доказать.

б) Угол 1 равен углу 2, \(BO\) равно \(OC\) и \(AB\) равно \(CD\).
1. По условию, у нас дано, что \(\angle 1 = \angle 2\), \(BO = OC\) и \(AB = CD\).
2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDA\).
3. У этих треугольников имеются две равные стороны: \(AB = CD\) (согласно условию) и \(BO = OC\) (дано).
4. Также, у этих треугольников углы \(\angle ABD\) и \(\angle DCA\) оба являются вертикальными углами и, следовательно, равны между собой (углы, образованные пересекающимися прямыми, которые лежат на противоположных сторонах пересекаемой прямой, равны).
5. Исходя из данных равенств и равенства сторон, по принципу равенства треугольников, мы можем сделать вывод, что \(\triangle ABD \cong \triangle CDA\) (треугольники равны по стороне-углу-стороне).
6. Значит, \(\angle ABD = \angle DCA\), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что равенство \(\angle ABD = \angle DCA\) выполняется, как в случае а), так и в случае б), с учетом заданных условий.