При вращении правильной шестиугольной призмы с ребрами длиной 1 см вокруг прямой, найдите площадь поверхности цилиндра

Ягодка_7667

2

Добро пожаловать! Давайте решим задачу о вращении шестиугольной призмы вокруг прямой и найдем площадь поверхности образовавшегося цилиндра.

а) Если прямая содержит одно из боковых ребер призмы, то при вращении этого ребра вокруг прямой будет образовываться основание цилиндра, а боковая поверхность призмы станет боковой поверхностью цилиндра.

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы можно найти, используя формулу:

\[П(б.п.) = П(призмы) - 2П(основания)\]

Так как призма является правильной, то ее боковая поверхность состоит из 6 равных равносторонних треугольников. Давайте найдем площадь каждого треугольника.

Радиус описанной окружности каждого треугольника можно найти, разделив длину бокового ребра на 2sin(60°), так как каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Радиус \(r\) описанной окружности равен:

\[r = \frac{l}{2\sin(60°)} = \frac{1}{2\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2(\sqrt{3}/2)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь можем найти площадь каждого треугольника:

\[П(треугольника) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{6}\]

Так как у нас 6 таких треугольников, общая площадь боковой поверхности призмы:

\[П(б.п.) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\]

Площадь одного основания призмы - это площадь правильного шестиугольника. Известно, что площадь правильного n-угольника со стороной a равна:

\[S = \frac{na^2}{4\tan(\frac{\pi}{n})}\]

Подставим значения для нашего шестиугольника:

\[S(основания) = \frac{6 \cdot 1^2}{4\tan(\frac{\pi}{6})} = \frac{6}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности призмы, то есть \(S(б.п.) = \sqrt{3}\), а площадь основания цилиндра равна площади одного основания призмы, то есть \(S(основания) = \sqrt{3}\).

Площадь поверхности цилиндра можно найти, используя формулу:

\[S(поверхности) = 2\pi r^2 + 2\pi rh\]

В нашем случае, радиус цилиндра равен радиусу описанной окружности треугольника, то есть \(r = \frac{\sqrt{3}}{3}\). По условию задачи, высота цилиндра равна длине ребра призмы, то есть \(h = 1\).

Подставляя значения, получаем:

\[S(поверхности) = 2\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 1\]

\[S(поверхности) = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\]

\[S(поверхности) = \frac{2\pi + 2\pi\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, образовавшегося при вращении шестиугольной призмы вокруг прямой, равна \(\frac{2\pi + 2\pi\sqrt{3}}{3}\).

б) Если прямая проходит через центры оснований призмы, то при вращении этой прямой вокруг себя будет образовываться основание цилиндра, а боковая поверхность призмы станет боковой поверхностью цилиндра.

Площадь основания цилиндра будет равна площади одного основания призмы, которая равна \(\sqrt{3}\), как мы уже посчитали ранее.

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно найти длину окружности, образованной боковым ребром призмы.

Длина бокового ребра призмы равна 1 см. При вращении этого ребра вокруг прямой выполняется полный оборот, то есть образуется окружность с радиусом равным длине бокового ребра.

Таким образом, длина окружности \(C\), образованной боковым ребром призмы равна:

\[C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi\]

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности на высоту цилиндра.

Высота цилиндра равна длине ребра призмы, то есть 1 см.

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна:

\[П(б.п.) = C \cdot h = 2\pi \cdot 1 = 2\pi\]

Площадь поверхности цилиндра можно найти, используя формулу:

\[S(поверхности) = 2\pi r^2 + 2\pi rh\]

В нашем случае, радиус цилиндра равен длине ребра призмы, то есть \(r = 1\), а высота цилиндра равна длине ребра призмы, то есть \(h = 1\).

Подставляя значения, получаем:

\[S(поверхности) = 2\pi \cdot 1^2 + 2\pi \cdot 1 \cdot 1\]

\[S(поверхности) = 2\pi + 2\pi\]

\[S(поверхности) = 4\pi\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, образовавшегося при вращении шестиугольной призмы вокруг прямой, равна \(4\pi\).