Каково отношение площадей круговых секторов кругов, ограниченных дугами, внутри двух окружностей длиной 12

Petrovna

4

Чтобы решить задачу, нужно знать основные свойства кругов и круговых секторов.

В данной задаче есть две окружности. Для обозначения их радиусов, возьмем \(r_1\) и \(r_2\), где \(r_1\) - радиус большей окружности, а \(r_2\) - радиус меньшей окружности.

Сначала найдем площадь кругового сектора, ограниченного дугой на большей окружности. Формула для нахождения площади кругового сектора:

\[S = \frac{{\theta}}{360} \cdot \pi \cdot r^2\]

где \(S\) - площадь кругового сектора, \(\theta\) - центральный угол в градусах, а \(r\) - радиус окружности.

Длина дуги, ограничивающей круговой сектор, равна \(l_1 = 12\). Так как длина дуги равна длине окружности, умноженной на центральный угол в радианах (\(l = 2 \pi r \cdot \frac{{\theta}}{360}\)), можем выразить \(\theta\) следующим образом:

\[12 = 2\pi r_1 \cdot \frac{{\theta}}{360}\]

Решим это уравнение относительно \(\theta\):

\[\theta = \frac{{12 \cdot 360}}{{2 \pi \cdot r_1}}\]

Теперь найдем площадь кругового сектора на меньшей окружности. Длина дуги этого сектора равна \(l_2 = 12\), а радиус равен \(r_2\). Аналогично, можем найти центральный угол для данного сектора:

\[\theta = \frac{{12 \cdot 360}}{{2 \pi \cdot r_2}}\]

Теперь, чтобы найти отношение площадей круговых секторов, нужно разделить площади секторов:

\[\frac{{S_1}}{{S_2}} = \frac{{\frac{{\theta_1}}{{360}} \cdot \pi r_1^2}}{{\frac{{\theta_2}}{{360}} \cdot \pi r_2^2}} = \frac{{\theta_1 \cdot r_1^2}}{{\theta_2 \cdot r_2^2}}\]

Подставим выражения для \(\theta_1\) и \(\theta_2\):

\[\frac{{\theta_1 \cdot r_1^2}}{{\theta_2 \cdot r_2^2}} = \frac{{\frac{{12 \cdot 360}}{{2 \pi \cdot r_1}} \cdot r_1^2}}{{\frac{{12 \cdot 360}}{{2 \pi \cdot r_2}} \cdot r_2^2}} = \frac{{12 \cdot 360 \cdot r_1}}{{12 \cdot 360 \cdot r_2}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}\]

Таким образом, отношение площадей круговых секторов, ограниченных дугами, внутри двух окружностей длиной 12, равняется отношению радиусов этих окружностей:

\[\frac{{S_1}}{{S_2}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}\]