Каково отношение площадей треугольников BDA и ABC, если точки D и E делят стороны BC и BA в отношении

Yupiter

52

Чтобы найти отношение площадей треугольников BDA и ABC, мы можем воспользоваться следующим свойством: отношение площадей двух треугольников равно квадрату соответствующего отношения их сторон.

Давайте обозначим сторону BC как a, сторону BA как b, а сторону BD как c. Затем мы можем записать отношение сторон треугольников BDA и ABC:

\(\frac{BD}{BC} = \frac{c}{a}\) и \(\frac{BA}{BC} = \frac{b}{a}\)

Поскольку точка D делит сторону BC в отношении 5:3, мы можем записать следующее:

\(\frac{BD}{BC} = \frac{5}{8}\)

Также, поскольку точка E делит сторону BA в том же отношении 5:3, мы можем записать:

\(\frac{AE}{BA} = \frac{5}{8}\)

Теперь, сведем все это вместе. Мы знаем, что сумма долей на стороне треугольника равна 1, поэтому:

\(\frac{BD}{BC} + \frac{AE}{BA} = 1\)

Подставив значения:

\(\frac{5}{8} + \frac{5}{8} = 1\)

Отсюда следует, что \(\frac{BD}{BC} = \frac{AE}{BA} = \frac{5}{8}\)

Теперь, чтобы найти отношение площадей треугольников BDA и ABC, возведем это отношение в квадрат:

\(\left(\frac{BD}{BC}\right)^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}\)

Таким образом, площадь треугольника BDA составляет \(\frac{25}{64}\) от площади треугольника ABC.