Каково отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если высота цилиндра равна трем

Vladislav

19

Для начала, давайте рассмотрим формулы для площади поверхностей цилиндра и шара.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
\[S_\text{бок} = 2\pi r h\]
где \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
\[S_\text{шара} = 4\pi r^2\]
где \(r\) - радиус шара.

Задача говорит, что высота цилиндра равна трем диаметрам его основания. Давайте обозначим диаметр как \(d\), тогда высота цилиндра будет равна \(3d\). Радиус основания цилиндра равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{d}{2}\).

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности цилиндра через радиус и высоту:
\[S_\text{бок} = 2\pi \cdot \frac{d}{2} \cdot 3d = 3\pi d^2\]

А площадь поверхности шара:
\[S_\text{шара} = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2\]

Теперь мы можем найти отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара:
\[\frac{S_\text{бок}}{S_\text{шара}} = \frac{3\pi d^2}{\pi d^2}\]

Заметим, что \(\pi d^2\) находится как общий множитель в числителе и знаменателе, поэтому он сократится:
\[\frac{S_\text{бок}}{S_\text{шара}} = \frac{3\cancel{\pi d^2}}{\cancel{\pi d^2}} = 3\]

Таким образом, отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 3.