Каково отношение площади сечения к площади основания пятиугольной пирамиды, если сечение параллельно ее основанию

Солнце_В_Городе

31

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства пятиугольных пирамид и площадей.

Пятиугольная пирамида имеет пятиугольную основу и пять треугольных боковых граней, которые сходятся в одной вершине. Для удобства, давайте представим нашу пирамиду в виде параллелограмма с площадью основания \(S_{\text{осн}}\) и высотой \(h\), где \(h\) - это высота пирамиды.

Согласно условию задачи, параллельное сечение делит высоту пирамиды в отношении 10:13, отсчитывая от вершины. Пусть \(h_1\) - это высота верхнего треугольника, а \(h_2\) - это высота нижнего треугольника. Тогда сумма \(h_1\) и \(h_2\) будет равна высоте всей пирамиды \(h\).

Так как высота пирамиды и параллельное сечение образуют подобные треугольники, мы можем записать следующее:

\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{13}\)

Давайте теперь рассмотрим площадь основания пирамиды и ее параллельного сечения.

Площадь параллелограмма получается умножением длины основания \(b\) на его высоту \(h_1\):

\(S_{\text{осн}} = b \cdot h_1\)

Также, площадь параллельного сечения равна произведению длины основания этого сечения \(b_1\) на его высоту \(h_2\):

\(S_{\text{сеч}} = b_1 \cdot h_2\)

Теперь мы можем относительно площадей сечения и основания составить соотношение. Подставим значения площадей и высот:

\(\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{b_1 \cdot h_2}{b \cdot h_1}\)

Заметим, что \(b_1\) и \(b\) - это соответствующие стороны параллельного сечения и основания пирамиды. Так как параллельное сечение делит высоту в отношении 10:13, отсчитывая от вершины, то мы можем записать:

\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{13} = \frac{b_1}{b}\)

Теперь мы можем заменить \(\frac{b_1}{b}\) на \(\frac{h_1}{h_2}\):

\(\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{b_1 \cdot h_2}{b \cdot h_1} = \frac{h_1}{h_2}\)

Таким образом, отношение площади сечения к площади основания пятиугольной пирамиды, при условии, что сечение параллельно основанию и делит высоту в отношении 10:13, равно \(\frac{10}{13}\).