1) Определите острый угол между двумя прямыми, которые пересекаются в точке (-2; -1) и проходят через точки (3

Gosha

52

Давайте начнем с первой задачи. Мы должны определить острый угол между двумя прямыми, которые пересекаются в точке (-2; -1) и проходят через точки (3; 3) и (3; -2).

Шаг 1: Найдем уравнение первой прямой, которая проходит через точки (3; 3) и (-2; -1).
Мы можем использовать формулу наклона прямой:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
где \(m\) - наклон прямой, \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек на прямой.

Подставим значения \((x_1, y_1) = (3, 3)\) и \((x_2, y_2) = (-2, -1)\) в формулу:
\[m = \frac{{-1 - 3}}{{-2 - 3}} = \frac{{-4}}{{-5}} = \frac{4}{5}\]

Шаг 2: Теперь мы знаем, что угол между прямой и осью \(x\) равен арктангенсу наклона прямой.
Обозначим этот угол как \(\alpha\). Используя обратную тригонометрическую функцию арктангенс, мы можем найти значение угла \(\alpha\):
\[\alpha = \arctan\left(\frac{4}{5}\right)\]

Итак, мы нашли значение угла \(\alpha\) между прямой и осью \(x\).

Шаг 3: Теперь, чтобы найти острый угол между двумя прямыми, мы можем использовать следующую формулу:
\[\text{{Острый угол}} = 90° - |\alpha|\]
где \(|\alpha|\) - модуль угла \(\alpha\).

Вставим значение угла \(\alpha\) в формулу:
\[\text{{Острый угол}} = 90° - \left|\arctan\left(\frac{4}{5}\right)\right|\]

Ответ на первую задачу: Острый угол между двумя прямыми, которые пересекаются в точке (-2; -1) и проходят через точки (3; 3) и (3; -2), равен \(90° - \left|\arctan\left(\frac{4}{5}\right)\right|\).

Перейдем ко второй задаче. Мы должны найти острый угол между прямой уравнения \(3x + 2y + 4 = 0\) и прямой, проходящей через точки (4; -3) и (-1; 0).

Шаг 1: Найдем уравнение второй прямой, проходящей через точки (4; -3) и (-1; 0).
Мы можем использовать формулу наклона прямой:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
где \(m\) - наклон прямой, \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек на прямой.

Подставим значения \((x_1, y_1) = (4, -3)\) и \((x_2, y_2) = (-1, 0)\) в формулу:
\[m = \frac{{0 - (-3)}}{{-1 - 4}} = \frac{{3}}{{-5}} = -\frac{3}{5}\]

Шаг 2: Теперь мы знаем, что угол между прямой и осью \(x\) равен арктангенсу наклона прямой.
Обозначим этот угол как \(\beta\). Используя обратную тригонометрическую функцию арктангенс, мы можем найти значение угла \(\beta\):
\[\beta = \arctan\left(-\frac{3}{5}\right)\]

Итак, мы нашли значение угла \(\beta\) между прямой и осью \(x\).

Шаг 3: Теперь, чтобы найти острый угол между двумя прямыми, мы можем использовать следующую формулу:
\[\text{{Острый угол}} = 90° - |\beta|\]
где \(|\beta|\) - модуль угла \(\beta\).

Вставим значение угла \(\beta\) в формулу:
\[\text{{Острый угол}} = 90° - \left|\arctan\left(-\frac{3}{5}\right)\right|\]

Ответ на вторую задачу: Острый угол между прямой уравнения \(3x + 2y + 4 = 0\) и прямой, проходящей через точки (4; -3) и (-1; 0), равен \(90° - \left|\arctan\left(-\frac{3}{5}\right)\right|\).