Каково отношение полученного газом тепла к работе газа за цикл? Отношение максимального объема газа к минимальному

Lazernyy_Reyndzher

30

Чтобы определить отношение полученного газом тепла к работе газа за цикл, мы можем использовать первый закон термодинамики, который утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно сумме тепла, подведенного к газу, и работы, произведенной газом.

Отношение тепла к работе газа за цикл называется КПД (коэффициент полезного действия) и обозначается символом η.

По условию задачи, отношение максимального объёма газа к минимальному составляет n = 3. Это означает, что максимальный объем газа в 3 раза больше минимального объема.

КПД можно выразить следующим образом:

\[\eta = 1 - \frac{Q_{\text{вых}}}{Q_{\text{вход}}}\]

где \(Q_{\text{вых}}\) - тепло, отданное газом в окружающую среду за цикл, и \(Q_{\text{вход}}\) - тепло, полученное газом от внешнего источника за цикл.

Теперь рассмотрим изменение внутренней энергии газа. По первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии равно теплу, подведенному к газу, за вычетом работы, произведенной газом:

\[\Delta U = Q - W\]

где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии, \(Q\) - тепло, подведенное к газу, и \(W\) - работа, произведенная газом.

Так как газ выполняет циклический процесс, net work равен нулю. Поэтому:

\[W = 0 \implies \Delta U = Q\]

Подставим это значение в формулу для КПД:

\[\eta = 1 - \frac{\Delta U_{\text{вых}}}{\Delta U_{\text{вход}}}\]

Теперь, учитывая, что \(\Delta U_{\text{вых}} = -Q_{\text{вых}}\) и \(\Delta U_{\text{вход}} = Q_{\text{вход}}\), получаем:

\[\eta = 1 - \frac{-Q_{\text{вых}}}{Q_{\text{вход}}} = 1 + \frac{Q_{\text{вых}}}{Q_{\text{вход}}}\]

Мы также знаем, что отношение максимального объема газа к минимальному составляет \(n = 3\). Это означает, что объем газа на входе также в 3 раза больше объема газа на выходе:

\[\frac{V_{\text{вход}}}{V_{\text{вых}}} = 3\]

Теперь рассмотрим соотношение между объемом и температурой газа для идеального газа. По уравнению состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где \(P\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа.

Поскольку у нас идеальный газ, \(n\) и \(R\) являются постоянными величинами, и мы можем записать:

\[\frac{P_{\text{вход}}V_{\text{вход}}}{T_{\text{вход}}} = \frac{P_{\text{вых}}V_{\text{вых}}}{T_{\text{вых}}}\]

Так как отношение максимального объема газа к минимальному составляет \(n = 3\) и \(V_{\text{вх}} = 3V_{\text{вых}}\), мы можем переписать это соотношение как:

\[\frac{P_{\text{вх}} \cdot 3V_{\text{вых}}}{T_{\text{вход}}} = \frac{P_{\text{вых}} V_{\text{вых}}}{T_{\text{вых}}}\]

Подставим значение \(V_{\text{вх}} = 3V_{\text{вых}}\):

\[\frac{3P_{\text{вых}} V_{\text{вых}}}{T_{\text{вход}}} = \frac{P_{\text{вых}} V_{\text{вых}}}{T_{\text{вых}}}\]

Делим обе стороны на \(P_{\text{вых}} V_{\text{вых}}\):

\[\frac{3}{T_{\text{вход}}} = \frac{1}{T_{\text{вых}}}\]

Теперь получим выражение для \(T_{\text{вход}}\):

\[T_{\text{вход}} = 3T_{\text{вых}}\]

Подставим это значение в формулу для КПД:

\[\eta = 1 + \frac{Q_{\text{вых}}}{Q_{\text{вход}}} = 1 + \frac{Q_{\text{вых}}}{3Q_{\text{вых}}} = 1 + \frac{1}{3}\]

Отношение полученного газом тепла к работе газа за цикл составляет \(\frac{4}{3}\).

Чтобы получить ответ в процентах, округленный до целых чисел, умножим его на 100 и округлим результат:

\(\frac{4}{3} \approx 1.3333\)

\(1.3333 \cdot 100 = 133.33\)

Ответ: полученное газом тепло составляет примерно 133%.