Каково отношение работ a1/а2, если два диска с равными массами и радиусами r1 и r2 (r1=2 r2) раскручиваются

Yachmen

36

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать сохранение момента импульса системы.

Момент импульса обозначается символом L и вычисляется путем умножения массы на скорость и на радиус вращения. Он остается постоянным в системе, если нет внешних моментов сил, действующих на объекты.

Момент импульса вычисляется по формуле:
\[L = I \cdot \omega\]

Где L - момент импульса, I - момент инерции, а \( \omega \) - угловая скорость.

Так как у нас два диска с равными массами и радиусами, и их угловые скорости выравниваются, то моменты импульса обоих дисков должны быть равными.

Момент инерции I для диска можно вычислить по формуле:
\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

Где m - масса диска, r - радиус диска.

Момент импульса L для диска можно вычислить, используя данную формулу:
\[L = I \cdot \omega\]

Подставим значение момента инерции в формулу момента импульса:
\[L = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \omega\]

Так как у нас два диска, для каждого диска момент импульса равен L. Обозначим массы дисков как m1 и m2, а радиусы как r1 и r2, соответственно.

Для первого диска:
\[L_1 = \frac{1}{2} m_1 r_1^2 \cdot \omega_1\]

Для второго диска:
\[L_2 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \cdot \omega_2\]

Поскольку диски имеют одинаковую угловую скорость (\(\omega_1 = \omega_2\)), получаем:
\[L_1 = L_2\]

Подставим значения момента инерции для каждого диска:
\[\frac{1}{2} m_1 r_1^2 \cdot \omega_1 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \cdot \omega_2\]

Учитывая, что \(r_1 = 2r_2\), заменим это значение в уравнении:
\[\frac{1}{2} m_1 (2r_2)^2 \cdot \omega_1 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \cdot \omega_2\]

Упростим уравнение, убрав общие множители:
\[4 m_1 r_2^2 \cdot \omega_1 = m_2 r_2^2 \cdot \omega_2\]

Разделим обе части уравнения на \(m_2 r_2^2\):
\[4 m_1 \cdot \omega_1 = \omega_2\]

Теперь, чтобы найти отношение работ \( \frac{{a_1}}{{a_2}} \), мы можем воспользоваться определением работы:
\[a = \Delta E\]

Где a - работа, \( \Delta E \) - изменение энергии.

Вращение тела связано с его кинетической энергией K. Формула для кинетической энергии вращающегося тела:
\[K = \frac{1}{2} I \omega^2\]

Где K - кинетическая энергия, I - момент инерции, \( \omega \) - угловая скорость.

Используя данную формулу, мы можем записать работу как:
\[a = \frac{1}{2} I \omega^2\]

Подставим значение момента инерции I для диска и угловую скорость \( \omega \) для каждого диска:

Для первого диска:
\[a_1 = \frac{1}{2} m_1 r_1^2 \omega_1^2\]

Для второго диска:
\[a_2 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \omega_2^2\]

Подставим значения моментов инерции и угловой скорости в уравнение:

Для первого диска:
\[a_1 = \frac{1}{2} m_1 (2r_2)^2 \omega_1^2\]

Для второго диска:
\[a_2 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \omega_2^2\]

Упростим уравнения, убрав общие множители:
\[a_1 = 4 m_1 r_2^2 \omega_1^2\]
\[a_2 = \frac{1}{2} m_2 r_2^2 \omega_2^2\]

Теперь мы можем найти отношение работ:
\[\frac{{a_1}}{{a_2}} = \frac{{4 m_1 r_2^2 \omega_1^2}}{{\frac{1}{2} m_2 r_2^2 \omega_2^2}}\]

Упростим выражение, сократив множители:
\[\frac{{a_1}}{{a_2}} = \frac{{8 m_1 \omega_1^2}}{{m_2 \omega_2^2}}\]

Таким образом, отношение работ \( \frac{{a_1}}{{a_2}} \) равно \( \frac{{8 m_1 \omega_1^2}}{{m_2 \omega_2^2}} \).